在前面的文章《递归牛顿欧拉（正）动力学仿真》中，我们介绍了正动力学的计算过程，也就是给定力矩后计算机械臂的运动。本文介绍逆动力学，也就是在机器人的运动已知的情况下反求所需的关节力矩。算法同样来自于论文《Lie Group Formulation of Articulated Rigid Body Dynamics》（下图中画红线的是错误的地方）。这篇论文使用了李群等高等数学知识，如果你感到陌生可以阅读《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》，该书恰好缺少递归牛顿欧拉动力学的介绍。如果有了前面的数学基础知识，读懂下面的公式其实并不难。
每步逆动力学计算过程包含两个递归子过程：1. 前向计算速度和加速度；2. 反向计算力矩。这要比正动力学相对简单一些。你是不是好奇：为什么逆动力学包含这两步，为什么不是反过来：反向计算速度及加速度和前向计算力矩？其实仔细一思考你就能理解，原因很简单（需要一点点理论力学的知识）：逆动力学的输入是机械臂的运动（包括关节的速度和加速度）。由于基座的速度和加速度是已知的（永远是零），而后一个连杆的速度显然依赖前一个连杆的速度，这是因为机械臂的关节角度是相对于上一个连杆定义的，所以，从基座出发一直向前，直到机械臂末端的连杆，所有连杆质心的速度和加速度都可以算出来。至于力矩嘛，如果我们选择中间任何一个连杆，它两侧的受力（也就是和它相连的连杆对它的反作用力）都是未知的。唯独末端的连杆，它一侧的受力是已知的（为零或者给定）。前向过程已经计算出来了加速度，我们可以借助单刚体的牛顿-欧拉方程求出它另一侧的受力。因为每两个相邻的连杆受到大小相等，方向相反的相互作用力，我们就知道了它前一个连杆一侧的受力。依次向基座的方向（反向）计算，我们可以求出后面所有连杆的受力。所以，力矩的递归是反向的。
具体实现（Mathematica代码）
time = 2000; dt = 0.001;
Table[mass[i] = 1; Gravity[i] = grav*mass[i]*{0, 0, -1, 0, 0, 0}, {i, 0, n, 1}];
Table[g[i, i + 1, 0] = RPToH[Id[3], {0, 0, (La[i] + La[i + 1])/2}], {i, 0, n - 1, 1}];
q = dq = ddq = ConstantArray[0, n];
q[[1]] = -3 Pi/4;
Table[V[i] = dV[i] = ConstantArray[0, 6], {i, 0, n, 1}];
Table[M[i] = Id[6]; \[Tau][i] = 0, {i, n}];
F[n + 1] = ConstantArray[0, 6];
g[n, n + 1] = g[0, 0] = Id[4];
qList = gList = \[Tau]List = {};
dq = ConstantArray[-0.6, n];
Table[
qList = {qList, q};
gList = {gList, g[0, n]};
\[Tau]List = {\[Tau]List, Array[\[Tau], n]};
q = q + dq*dt;
(*Forward*)
For[i = 1, i <= n, i++,
g[i - 1, i] = TwistExp[\[Xi]r[i], q[[i]]].g[i - 1, i, 0];
g[0, i] = g[0, i - 1].g[i - 1, i];
V[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].V[i - 1] + \[Xi]s[i]*dq[[i]];
dV[i] = Ad[Iv[g[i - 1, i]]].dV[i - 1] + ad[V[i] - \[Xi]s[i]*dq[[i]]].\[Xi]s[i]*dq[[i]] + \[Xi]s[i]*ddq[[i]];
];
(*Backward*)
For[i = n, i >= 1, i--,
Fext[i] = T[Ad[RPToH[R[g[0, i]], {0, 0, 0}]]].Gravity[i];
F[i] = M[i].dV[i] - T[ad[V[i]]].M[i].V[i] + T[Ad[Iv[g[i, i + 1]]]].F[i + 1] - Fext[i];
\[Tau][i] = \[Xi]s[i].F[i];
];
, {t, time}];仿真结果
我们选择6个连杆进行仿真试验，连杆之间用转动关节连接，所有关节的速度都设为常数-0.6 rad/s。给定关节速度下，机器人的运动如下图左所示（显示了Y-Z平面）。逆动力学求得的关节力矩如下图右所示。
正确性验证
为了验证逆动力学算法的正确性，我们借助前面得到的正动力学：将逆动力学求得的力矩带入正动力学进行仿真，看看机器人的运动与我们设定的运动是否相同，整个过程就是一个闭环，如下图：
正动力学仿真的结果如下图所示。可以看到结果与我们给定的运动一模一样，这证明我们的逆动力学是正确的。
