BZOJ 3994 约束个数和（约数函数性质+莫比乌斯反演+筛积性函数）*

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/HYSBZ-3994

#include<bits/stdc++.h>
#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#define read(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)

#define lrt int l,int r,int rt
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define ll long long
const int  maxn =1e5+5;
const int mod=1e9+7;
ll powmod(ll x,ll y) {ll t;for(t=1;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) t=t*x%mod;return t;}
ll gcd(ll x,ll y)  {  return y==0?x:gcd(y,x%y); }
/*
题目大意：求二维约数和函数的前缀和。（d(ij)）形式
根据公式，（数论这块要扩展的东西很多）（可归纳证明）
d(ij)=sigma x|i sigma y|j [gcd(x,y)==1],
看到后缀形式眼睛都量了，即兴反演一下，
注意有一个这样的套路，
sigma i=1~n sigma x|i 这样的前缀形式，
如果里面的函数只和x有关，式子可以变化成
sigma x=1~n: n/x*f(x)。
我个人也是对这个形式手动模拟 了下，才发现这样的规律。。。
不难发现，x整体出现的次数，是n/x。
所以本题公式主体已经呈现出来了，
sigma d=1~n u(d)*(sigma n/d sigma m/d n/x*m/x);
还要知道个套路就是：
sigma i=1~n n/i=sigma d(i)。
约数个数函数可以线性筛求出，
所以分块可以O(1)搞出答案增益，总体时间复杂度是O(n^(1/2))。
*/

///筛法筛莫比乌斯函数和约束个数函数
int prim[maxn],tot=0;
int vis[maxn],miu[maxn];
int ys[maxn],s[maxn];///约束个数函数和其【配合函数
void sieve()
{
    miu[1]=ys[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(vis[i]==0) prim[tot++]=i,ys[i]=2,s[i]=1,miu[i]=-1;
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(1LL*i*prim[j]>=maxn) break;
            int k=i*prim[j];vis[k]=1;
            if(i%prim[j])
            {
                miu[k]=-miu[i];
                ys[k]=2*ys[i];///答案扩大两倍
                s[k]=1;///最小素因子的幂次归1
            }
            else
            {
                miu[k]=0;
                ys[k]=ys[i]/(s[i]+1)*(s[i]+2);///变动的是最小素因子的幂次
                s[k]=s[i]+1;///容易理解
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        miu[i]+=miu[i-1];
        ys[i]+=ys[i-1];
    }
    ///for(int i=1;i<=100;i++) cout<<miu[i]<<" ";puts("");
  ///  for(int i=1;i<=100;i++) cout<<ys[i]<<" ";puts("");
}
ll n,m;
int main()
{
    sieve();
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        ll ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1LL*(miu[j]-miu[i-1])*ys[n/i]*ys[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
   return 0;
}