【数值分析】—— 对数函数、指数函数（数值稳定性）

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0. 数值分析

数值分析（计算数学）观点，如下两种最常见的浮点数运算过程中损失有效数字的情况。

• 两个相近的数相减
• 两个数量级相差很大的数字相加减

1. $\lim_{x\to 0}\log(1+x)$（两个数量级相差很大的数字相加减）

• 计算 $\log(1+x)$，Python math 库中有专门的函数，math.log1p（plus 1）。
• 从计算机数值计算的角度，当 $x$ 逼近 0 时，math.log1p(x) 比直接计算 math.log(x)+1不会丢失过多的精度。

math.log1p 的实现原理基于 $\log(1+x)$ 的泰勒展开：

$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\frac{x^5}{5}+\cdots$$

def log1p(x):
    if fabs(x) > 1e-4:
        return log(1.0+x)
    return (1.0-x*0.5)*x

2. $\lim_{x\to 0}\exp(x)-1$（两个相近的数相减）

• 计算 $\exp(x)-1$，Python math 库中有专门的函数，math.expm1（minus 1）。
• 从计算机数值计算的角度，当 $x$ 逼近于0时，math.expm1(x)相比直接计算 math.exp(x)-1不会丢失过多的精度。

同样地对 $\exp(x)-1$ 进行泰勒展开：

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$

def expm1(x):
    if fabs(x) > 1e-4:
        return exp(x) - 1.0
    return (1.0+0.5*x)*x

可以看到这个级数收敛的很快，因此我们只要取很少的几项就能得到很高的计算精度。

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• log1p(x) 和 expm1(x) 函数的实现