6.2 数值稳定性

6.2 数值稳定性

矩阵 $A$ 的行向量虽然不相关，但当某个行向量几乎可以被其它行向量线性表示时，矩阵 $A$ 接近奇异，如果计算 $A^{-1}_R=A^T(AA^T)^{-1}$ 采用 $(AA^T)$ 的逆，则会导致数值不稳定。可采用第五章技术，利用 $QR$ 分解，提高数值稳定性。

令矩阵 $B = A^T$ ，则矩阵 $B$ 是列满秩矩阵，进行 $QR$ 分解得 $B = QR$ ，代入 $A^{-1}_R=A^T(AA^T)^{-1}$ 得 $A^{-1}_R=B(B^TB)^{-1}=QR(R^TQ^TQR)^{-1}=QR(R^TR)^{-1}=QRR^{-1}R^{-T}=QR^{-T}$ ， $A^{-1}_RA = QR^{-T}R^TQ^T=QQ^T$ ，所以通解为
$\mathbf{x} = QR^{-T}\mathbf{b} + (E-QQ^T)\mathbf{a}$

为了提高数值稳定性，可采用改进的 Gram-Schmidt 方法进行 $QR$ 分解，具体计算过程如下：

1、采用改进的 Gram-Schmidt 方法对矩阵 $A^T$ 进行 $QR$ 分解，得 $Q=(\mathbf{q}_1,\cdots,\mathbf{q}_m)$ 和 $R$ .
2、解方程 $R^T\mathbf{z}=\mathbf{b}$ 得 $\mathbf{z}=(\zeta_1,\cdots,\zeta_m)$ .
3、令 $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ ；for $k=m,\cdots,1$ do { $\omega_k:=\mathbf{q}^T_k\mathbf{b};\mathbf{b}:=\mathbf{b}-(\omega_k-\zeta_k)\mathbf{q}_k$ }； $\mathbf{x}^{min}_p:=\mathbf{b}$

最终范数最小解为 $\mathbf{x}^{min}_p:=\mathbf{b}$ 。

第 $2$ 步解方程 $R^T\mathbf{z}=\mathbf{b}$ ，当矩阵 $R$ 的对角元素值趋近 $0$ 时，此时矩阵 $A$ 接近奇异，可采用阻尼倒数法进行稳定计算。

改进的 Gram-Schmidt 方法和阻尼倒数法详细介绍见第五章，本节从略。