数值分析(11)-数值积分

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整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分(THIS)

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 基本概念

定义1：若求积公式： $\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$对于 $f(x)=x^j(j=0,1,2...,m)$都精确成立，但对 $f(x)=-x^{m+1}$不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

例：确定形如 $\int _0^3f(x)dx \approx A_0f(0)+A_1f(1)+A_2f(2)$的求积公式。

解：令公式对 $f(x)=1,x,x^2$都精确成立，则：

$\begin{cases} A_0+A_1+A_2=3\\ A_1+3A_2=\frac{9}{2}\\ A_1+9A_2=9 \end{cases}\\ 解方程得求积公式，该公式对f(x)=x^2成立\\但对f(x)=x^3不成立，代数精度为2.$

插值型求积公式：在积分区间 $[a,b]$上取 $n+1$个节点 $x_i,i=0,1,2,...,n$作 $f(x)$的 $n$次代数插值多项式(拉格朗日插值公式)： $I_n(x)=\sum^n_{j=0}l_j(x)f(x_j)，有f(x)=L_n(x)+R_n(x)$，其中 $R_n(x)=\frac{f^(n+1)(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$为插值余项， $\omega_{n+1}(x)=\prod^n_{k=0}(x-x_k)$，于是有:

$\int_a^bf(x)dx=\int_1^bL_n(x)dx+\int_a^bR_n(x)dx\\ =\sum_{j=0}^n\left[\int_a^bl_j(x)dx\right]f(x_j)+\int_a^bR(x)dx$

取 $\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{k=0}^n f(x_k)A_k=\sum_{k=0}^n f(x_k)\int_a^bl_k(x)dx$

$A_k=\int_a^b \prod_{i=0,i!=k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}dx$取决于节点，与 $f(x)$无关，称为插值型求积公式。

截断误差：

$R[f]=\int_a^bf(x)dx-\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)\\=\int_a^b[f(x)-L_n(x)]dx\\ =\int_a^b\frac{f^{n+1}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod_{k=0}^n(x-x_k)dx$

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2. Newton-Cotes公式

牛顿-科特茨公式指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。

$I_n(f)=\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)=(b-a)\sum_{k=0}^nf(x_k)\\ 其中 C_k^{(n)}\\=\frac{(-1)^{n-k}}{n \cdot k! \cdot(n-k)!}\int_0^n \prod_{0 \leq j \leq n,j!=k}(t-j)dt\\ 称为Cotes系数只与k和n有关，且满足\\ C_k^{(n)}=C_{n-k}^{(n)}，\sum_{j=0}^nC_j^{(n)}=1$

低阶牛顿-科特茨公式及其余项

n=1,2,4时公式最常用，称为低阶公式

• n=1，梯形公式

Cotes系数：

$C_0^{(1)}=-\int_0^1(t-1)dt=0.5\\ C_1^{(1)}=\int_0^1tdt=0.5$

求积公式：

$I_1(f)=(b-1)\sum_{k=0}^1C_k^{(1)}f(x_k)\\ =\frac{(b-a)}{2}[f(x_0)+f(x_1)]\\ n=1时取x_0=a,x_1=b,h=b-a\\ 记为T=I_1(f)$

余项为:

$R(T)=R(I_1)=\int_a^bR_1(x)dx,\\ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\\ R(T)=\int_a^b\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)dx\\ =\frac{f''(\eta)}{2}\int_a^b(x-a)(x-b)dx,\eta \in [a,b]\\ =-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta),\\ 有|R(T)|\leq \frac{(b-a)^3}{2}M_2,\\ M_2=max_{x \in[a,b]}|f''(x)|,\\ 梯形公式具有一阶代数精度。$

• n=2，Simpson公式/三点公式/抛物线公式

Cotes系数

$C_0^{(2)}=\frac{1}{4}\int_0^2(t-1)(t-2)dt=\frac{1}{6}\\ C_1^{(2)}=\frac{-1}{2}\int_0^2t(t-2)dt=\frac{4}{6}\\ C_2^{(2)}=\frac{1}{4}\int_0^2(t-1)tdt=\frac{1}{6}$

求积公式：

$I_2(f)=(b-a)\sum_{k=0}^2C_k^{(2)}f(x_k)\\ =(b-a)[\frac{1}{6}f(x_0)+\frac{4}{6}f(x_1)+\frac{1}{6}f(x_2)],\\ n=2时取\\x_0=a,x_1=\frac{b+a}{2},x_2=b,h=\frac{b-a}{2}\\ 记为S=I_2(f)$

余项：

$R(S)=R(I_2)=\int_a^bR_2(x)dx\\= -\frac{b-a}{180}\left(\frac{b-a}{2}\right)^4f^{(4)}(\eta)\leq \frac{(b-a)^5}{2880}M_4\\ 其中M_4=max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|\\ Simpson公式具有3阶代数精度。$

• n=4，Cotes公式/五点公式

Cotes系数

$C_0^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 4!}\int_0^4(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)dt=7/90\\ C_1^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 3!}\int_0^4t(t-2)(t-3)(t-4)dt=16/45\\ C_2^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 2! \cdot 2!}\int_0^4t(t-1)(t-3)(t-4)dt=2/15\\ C_3^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 3!}\int_0^4t(t-1)(t-2)(t-4)dt=16/45\\ C_4^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 4!}\int_0^4t(t-1)(t-2)(t-3)dt=7/90$

求积公式：

$I_4(f)=(b-a)\sum_{k=0}^4C_k^{(4)}f(x_k)\\ =(b-a)[\frac{7}{90}f(x_0)+\frac{32}{90}f(x_1)+\\ \frac{12}{90}f(x_2)\\+\frac{32}{90}f(x_3)+\frac{7}{90}f(x_4)]$

余项：

$R(C)=R(I_4)\\ CI_4(f)=\int_a^bR_4(x)dx\\ =-\frac{2(b-1)}{945}(\frac{b-a}{4})^6f^{(6)}(\eta)\\ Cotes公式具有五次代数精度$

Cotes系数：

例：用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分 $I=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}$的近似值。

解
$f(x)=\frac{4}{1+x^2},a=0,b=1;\\ 精确值\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx=4arctanx|_0^1=\pi$

1. 梯形公式：
   $I \approx T=I_1(f)=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2}[4+2]=3$
2. Simpson公式：
   $I \approx S=I_2(f)=\frac{b-a}[f(a)+4f(\frac{b+1}{2})+f(b)]\\ =\frac{1}{6}[4+\frac{64}{5}+2]\approx3.13333$
3. Cotes 公式：
   $I \approx S=I_4(f)\\ =\frac{b-1}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)\\+32f(x_3)+7f(x_4)]\\ =\frac{1}{90}[28]+32\frac{64}{17}+12\frac{16}{5}+32\frac{64}{25}+14]\\\approx 3.1421176$

3. 复合求积公式

问题1.高次插值有Runge现象 $\rarr$分段低次插值

问题2.高阶牛顿-舒尔茨数值不稳定，低阶不满足精度要求 $\rarr$积分区间[a,b]分成若干区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。

3.1复合求积公式：

$\int_a^bf(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\\ \approx \sum_{k=0}^{n-1}I_l^{(k)}=h\sum_{k=0}^{(n-1)}\sum_{i=0}^lC_i^{(l)}f(x_{x+\frac{i}j})=I_n$

可得：

$l=1,符合梯形求积公式\\ \int_a^bf(x)dx \approx \frac{b-a}{2n}[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ l=2,符合Simpson求积公式\\ \int_a^bf(x)dx \approx S_n \\ =\frac{b-a}{6n}[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}2})\\+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ l=4,复合Cotes求积公式\\ \int_a^bf(x)dx\approx C_n\\ =\frac{b-a}{90}[7f(a)+\sum_{k=0}^{n-1}[32f(x_{k+\frac1{4}})+\\ 12f(x_{k+\frac{2}{4}})\\+32f(x_{k+\frac3{4}})]+ 14\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)]$

3.2 复合求积公式得余项和收敛的阶

三个求积公式的余项

$R(T)=-\frac{(b-1)^3}{12}f''(\eta){单纯的求积公式}\\ =-\frac{h}{12} \cdot h^2 \cdot f''(\eta){复合求积公式的每个小区间}\\ 当n足够大，复合梯形公式的余项：\\ I-T_n \approx -\frac{h^2}{12}[f'(b)-f'(a)]\\ R(S)=-\frac{b-a}{180}(\frac{b-a}2)^4f^{(4)}(\eta)\\ =-\frac{h}180(\frac{h}{2})^4f^{(4)}(\eta_k)\\ 当n足够大，复合Simpson公式的余项为：\\ I-S_n=-\frac{h^4}{180 \cdot 2^4}[f'''(b)-f'''(a)]\\ R(C)=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{b-a}{4})^6f^{(6)}(\eta)\\ =-\frac{2h}{945}(\frac{h}{4})^6f^{(6)}(\eta_k) 当n足够大，复合Cotes公式的余项为：\\ I-C_n \approx \frac{2h^6}{945 \cdot 4^6}[f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)]$

4. 龙贝格求积公式/逐次分半加速法

计算步骤

• 初值： $T_1=\frac{b-1}{2}[f(a)+f(b)]$

• 令 $h=\frac{b-a}{2^i}(i=0,1,2,...)，计算T_{2n}=\frac{1}{2}T_n+\frac{h}2\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+\frac{1}2})$

• 外推：

  $S_n=T_{2n}+(T_{2n}-T_n)/3\\ C_N=S_{2n}+(S_{2n}-S_n)/15\\ R_n=C_{2n}+(C_2n-C_n)/63$

• 满足精度要求则停，否则第二步。

5. 高斯求积公式

$\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$含有 $2n+2$个待定参数 $x_k,A_k(k=0,1,...,n)$，当 $x_k$为等距节点时得到的插值求积公式代数精度至少为n次，若选取恰当的节点 $x_k$，有可能使求积公式具有 $2n+1$次代数精度，这类求积公式称为高斯求积公式， $x_k$称为高斯点。

为具有一般性研究带权积分，对应的求积公式为 $\int_a^bf(x) \rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$，为了使其具有 $2n+1$次代数精度，只要对 $f(x)=x^m(m=0,1,...,2n+1)$公式都精确成立即可。

例子：构造下列积分的高斯求积公式。

$\int_0^1\sqrt x f(x)dx \approx A_0f(x_0)+A_1f(x_1)$

解：令式子对 $f(x)=1,x,x^2,x^3$准确成立，得到方程组：

$\begin{cases} A_0+A_1=\frac2{3}\\ x_0A_0+x_0A_0=\frac2{5}\\ x_0^2A_0+X_1^2A_1=\frac{2}7\\ x_0^3A_0+X_1^3A_1=\frac{2}9 \end{cases}\\ 一式化二式，二式化三式，三式化四式，解得\\x_0=0.821162,x_1=0.289949,\\A_0=0.389111,A_1=0.277556$

定理：高斯求积公式的求积系数 $A_k(k=0,1,...,n)$全为正。

高斯-勒让德求积公式

$\int _a^bf(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)中\\ 取权函数\rho(x)=1,区间为[-1，1].由于勒让德\\多项式是该区间上的正交多项式，因此勒让德\\多项式P_{n+1}(x)的零点就是求积公式的高斯点。$

若取 $P_1(x)=x的零点x_0=0$作为节点构造求积公式令f(x)=1准确成立，得 $A_0=2$，构造出的高斯-勒让德求积公式 $\int_{-1}^1f(x)dx \approx 2f(0)$是中矩形公式。

若取 $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$的两个零点 $\pm \frac{1}{\sqrt3}$构造求积公式，令其对f(x)=1,x准确成立，解得 $A_0=A_1=1$，此时得到两点高斯-勒让德求积公式 $\int_{-1}^1f(x)dx \approx f(-\frac{1}{\sqrt3})+f(-\frac{1}{\sqrt3})$，同样可以求三点高斯-勒让德公式。

高斯勒让德求积公式的节点和系数如下图所示:

若a=-1,b=1,权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，由此建立的高斯公式为：

$\int_{-1}^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k)$

称为高斯-切比雪夫求积公式，与高斯-勒让德求积公式计算相仿。

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