数值分析复习（一）

一、绪论

误差的基本概念

绝对误差

设 $x^*$ 为准确值， $x$ 是 $x^*$ 的一个近似值，记 $\pmb{ {e(x)}=x^*-x}$ ，称 $e (x)$ 为近似值 $x$ 的绝对误差
绝对误差不是误差的绝对值
若存在 $\epsilon > 0$ ，使得 $\pmb{|e(x)|=|x^*-x| \leq \epsilon}$ ，则 $\epsilon$ 称为近似值的绝对误差限

相对误差

设 $x^*$ 为准确值， $x$ 是 $x^*$ 的一个近似值，记 $\pmb{e_r(x)=\frac{x^*-x}{x^*}=\frac{e(x)}{x^*}}$ ，则称 $e_r(x)$ 为近似值 $x$ 的相对误差
由于精确值难以求得，通常以 $\pmb{\overline{e}_r(x)=\frac{x^*-x}{x}}$ 作为相对误差

有效数

如果近似值 $x$ 的绝对误差限是其某一位的半个单位，且该位直到 $x$ 的第一个非零数字之间共有 n 位，则称 $x$ 具有 n 位有效数字，用这 n 位有效数字表示的近似值称为有效数
如 $\pi$ 的近似值取 $x_1=3.14$ ，则 $|\pi-x_1|=0.00159...<0.005=\frac{1}{2} \times 10^{-2}$ ，所以 $x_1$ 有 3 位有效数字

数据误差对函数值的影响

设 $x^*_1,\ x^*_2$ 为准确值， $y^*=f(x^*_1, x^*_2),\ x_1,\ x_2$ 为对应的近似值， $y=f(x_1,\ x_2)$ ，由二元函数 Taylor 展开得
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ e(y) &= y^*-y=…$
利用 ① 和 ② 可得
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &e(x_1+x_2)=e(…$

例子

设 $x=0.1230,\ y=1.234$ 均为有效数字，试分析 $(x - y)$ 和 $x^2 \cos(y)$ 得绝对误差限、相对误差限和有效数字

**解：**由条件有 $\leq \frac{1}{2} \times 10^{-4},\ |e(y)| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-3}$ ，则
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ |e(x-y)| &= |e…$
由上可知，

$|e(x-y)|\leq0.55 \times10^{-3} \lt \frac{1}{2} \times 10^{-2}, \ x-y=-1.111$ ，所以 $(x - y)$ 具有 3 位有效数字

$|e(x^2\cos{y})| \lt \frac{1}{2} \times 10^{-4},\ x^2\cos{y}=0.0049996$ ，所以 $x^2\cos{y}$ 具有 2 位有效数字

数值稳定性

对于某一算法，如果初始数据很小的误差仅使最终结果产生较小的误差，则称该算法是**（数值）稳定**的，否则称为（数值）不稳定的
例 1.4.1 一定要去看

实际计算中应注意的一些问题

尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值
尽量避免两个相近的数相减
防止大数 “吃” 小数
简化计算步骤，减少运算次数

秦九韶算法

TODO

二、非线性方程的求解

判断方程根的分布

简单迭代 f(x)=0 => x_k+1 = \phi(x_k)，定理2.2.1：条件内容结论和一部分证明；定理2.2.2：知道即可；定理2.2.4：知道

Newton 迭代，局部二阶收敛，大范围收敛会用：定理2.3.1，

概述

求根的方法一般分为 2 步：

根的搜索，分析方程存在多少个实根，找出每个根所在的区间
- 图解法：通过画函数的图形，了解根的分布情况
- 解析法：用微积分基本理论来分析
- 定步长搜索法：利用连续函数的介值定理
根的精确化，求满足给定精度的根的近似值

二分法

三、线性方程组的数值解法

消去法、列主元消去法

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方程组性态，误差分析（范数、条件数、半径）

Jacobi、Gauss-seidel、SOR（*）

幂法？