引子
先问大家一个问题。你们在做数学题的时候处理过零吗？
这种零，在分母。
但是，老师告诉我们这种零是不可以除的。
大数学家牛顿就对此来说就不以为然。于是他设计了一个式子，然后除以一个非常小的量。之后跟上面进行约分。约分完之后得到了一个数字加上这个非常小的量。于是答案就是这个数。
有人就开始批评这个牛顿了，说他对这个除数做的不严谨。因为他能除，所以他不等于零，这个大家都知道。但是你后面又设它为零，是怎么回事呢？牛顿自己也搞不清楚，于是呢他把这个问题作为礼物送给了下N任数学家。
问题1，数列有极限吗？
N代数学家之后。
终于有人把这个问题解决了。上定义！
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在N为正整数，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
看不懂是不是？别走啊。我给你们解释一下。
数列大家都知道是什么意思吧？就是一列数字。
它的第n项我们可以设为xn。
接下来我们需要做的只是找到一个正数ε。越小越好（可以任意小）。如果你能给出一个足够大的正整数N。使得所有的 | xn（n>N）-某个确定的数字 | 一定小于你给的这个正数ε，那么我们就说这个确定的数字是这个数列的极限。。。
例如数列1,1/2,1/3...
我们可以设ε为0.01.这时，如果N＞100，就能满足 | xn（n>N）-某个确定的数字（这里是0） | 小于这个ε了，
你肯定会反驳说：如果为0.00...01呢？（此处省略114514个0）
这样我们可以设ε为0.00...01（此处省略114514个0）。这时，如果N＞1000...0（此处省略114514个0），就能满足 | xn（n>N）-某个确定的数字（这里是0） | 小于这个ε了，即，limx→∞（标准格式是x→∞写在lim下面的，这里因为不方便所以写在前面）=0
好像和前面说的（除以零）没什么关系？
别急，马上来了。
因为接下来是函数。
问题2：函数有极限吗？与数列的极限有什么区别？
函数，了解一下？（以下说的是单值函数）
对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值（f（x））与其对应，那么我们就说y是x的函数。
再选取一个正数。任意小的正数ε。（似曾相识）
这个函数在待求得极限的某一点X0的地方（X0可以有对应的y值，也可以没有对应的y值）加减一个足够小的数δ的范围，使得这个范围内所有x对应的y值减掉某个数后的绝对值必定小于那个正数ε，我们就说这个数是这个函数在x0处的极限。
例如函数y=（x²-9）/（x-3）
聪明人：x-3≠0，所以x不等于3.
我：没错。所以我们要求x=3时的极限。
我们可以设ε为0.01.这时，如果δ＜0.01，就能满足 |y-某个确定的数字（这里是6） | 小于这个ε了...
见下图：
放上最后函数无穷大的极限（自己研究吧qwq）
设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。