线性代数（4）矩阵转置、求逆、求秩

矩阵转置 $A^T$

矩阵转置即将原矩阵的行变成列，原矩阵的列变成行
类比于R语言的转置函数t()的操作
示例1：
已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$,求 $A^T$?
$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$
示例2：
已知 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}$，则 $A^T=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，求 $A^TAA^T$?
在涉及转置矩阵的乘法中，先用行乘列要比先用列乘行简单
原式
$A^TAA^T$
$=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
这里先计算 $A*A^T$，
$A*A^T=*\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
$=2$
然后计算 $A^T*2$
$=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}*2=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$

• 性质
  $(AB)^T=B^T*A^T$
  $|A^T|=|A|$

矩阵可逆

对于矩阵A,若满足以下条件则存在可逆矩阵
$\begin{cases}A_{mn},m=n\\|A|\ne0\ or\ exist\ B:AB=E\ or\ BA=E\end{cases}$
则称B是A的逆矩阵，A则是可逆矩阵。
例如 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$,首先该矩阵是22的方阵， $|A|=-2\ne0$，因此该矩阵存在可逆矩阵
已知方阵A满足 $A^2-A-2E=0$，试求A是否可逆。
思路，A首先满足方阵的条件，但是这里无法求出A的行列式的值，因此，我们要构造AB=E的形式。
原式：
$A^2-A-2E=0\Rightarrow A^2-A=2E\Rightarrow A^2-AE=2E\Rightarrow A(A-E)=2E\Rightarrow A*\frac{A-E}2=E$
令 $\frac{A-E}2=B$，则AB=E,也即存在矩阵B满足AB=E，因此该矩阵可逆。

求逆矩阵 $A^{-1}$

已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$,求其逆矩阵 $A^{-1}$?
步骤：在待求解矩阵的右边写上同维度的单位矩阵，然后进行相应转化，使得二者交换形式，即把左边的原矩阵转换成单位矩阵，而一起变换的右边的单位矩阵的结果就是原矩阵的逆矩阵
$\begin{pmatrix}1&2&\vdots1&0\\3&4&\vdots0&1\end{pmatrix}\underrightarrow{\text{r2-3r1}}\begin{pmatrix}1&2&\vdots1&0\\0&-2&\vdots-3&1\end{pmatrix}\underrightarrow{\text{r2 * (-1/2)}}$
$\begin{pmatrix}1&2&\vdots1&0\\0&1&\vdots\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\underrightarrow{\text{r1-2r2}}\begin{pmatrix}1&0&\vdots-2&1\\0&1&\vdots\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
至此，右边的矩阵 $\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$，就是原矩阵的逆矩阵

逆矩阵的性质

$A*A^{-1}=E=A^{-1}*A$
即矩阵乘其逆矩阵，或者逆矩阵乘其原矩阵都是单位矩阵E

伴随矩阵的性质

$AA^*=|A|E=A^*A$
$A^*$叫做矩阵A的伴随矩阵

矩阵的秩R(A)

对矩阵进行行变换，保证下一行的0比上一行多，直到全为0为止，最后看包含非0行的个数，有几行矩阵的秩就是多少
示例：
求 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的秩R(A)?
原式：
$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\underrightarrow{\text{r2-3r1}}\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}$
因此，该矩阵的秩是2，即 $R(A)=2$