1. LR

LR模型可以被认为就是一个被Sigmoid函数（logistic方程）所归一化后的线性回归模型！

逻辑回归(Logistic Regression, LR)模型其实仅在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数，但也就由于这个逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星，更是计算广告学的核心。

1.1 直观表述

首先来解释一下的表示的是啥？它表示的就是将因变量预测成1（阳性）的概率，具体来说它所要表达的是在给定x条件下事件y发生的条件概率，而是该条件概率的参数。将它分解一下：

（1）式就是我们介绍的线性回归的假设函数，那（2）式就是我们的Sigmoid函数啦。

由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]。逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。为什么会用Sigmoid函数？因为它引入了非线性映射，将线性回归值域映射到0-1之间，有助于直观的做出预测类型的判断：大于等于0.5表示阳性，小于0.5表示阴性。

其实，从本质来说：在分类情况下，经过学习后的LR分类器其实就是一组权值，当有测试样本输入时，这组权值与测试数据按照加权得到

这里的就是每个测试样本的n个特征值。之后在按照Sigmoid函数的形式求出，从而去判断每个测试样本所属的类别。

由此看见，LR模型学习最关键的问题就是研究如何求解这组权值！

1.2 决策边界（Decision Boundary）

在LR模型中我们知道：当假设函数，即，此时我们预测成正类；反之预测为负类。由图来看，我们可以得到更加清晰的认识。下图为Sigmoid函数，也是LR的外层函数。我们看到当时，此时（即内层函数），然而此时也正是将y预测为1的时候；同理，我们可以得出内层函数时，我们将其预测成0(即负类)。

逻辑回归的假设函数可以表示为

，

于是我们得到了这样的关系式：

下面再举一个例子，假设我们有许多样本，并在图中表示出来了，并且假设我们已经通过某种方法求出了LR模型的参数（如下图）。

根据上面得到的关系式，我们可以得到：

而我们再图像上画出得到：

这时，直线上方所有样本都是正样本y=1，直线下方所有样本都是负样本y=0。因此我们可以把这条直线成为决策边界。

同理，对于非线性可分的情况，我们只需要引入多项式特征就可以很好的去做分类预测，如下图：

值得注意的一点，决策边界并不是训练集的属性，而是假设本身和参数的属性。因为训练集不可以定义决策边界，它只负责拟合参数；而只有参数确定了，决策边界才得以确定。

2. 权值求解

2.1 代价函数（似然函数）

前面我们介绍线性回归模型时，给出了线性回归的代价函数的形式（误差平方和函数），具体形式如下：

这里我们想到逻辑回归也可以视为一个广义的线性模型，那么线性模型中应用最广泛的代价函数-误差平方和函数，可不可以应用到逻辑回归呢？首先告诉你答案：是不可以的！那么为什么呢? 这是因为LR的假设函数的外层函数是Sigmoid函数，Sigmoid函数是一个复杂的非线性函数，这就使得我们将逻辑回归的假设函数带入 (1)式时，我们得到的是一个非凸函数，如下图：

这样的函数拥有多个局部极小值，这就会使得我们在使用梯度下降法求解函数最小值时，所得到的结果并非总是全局最小，而有更大的可能得到的是局部最小值。这样解释应该理解了吧。

虽然前面的解释否定了我们猜想，但是也给我们指明了思路，那就是我们现在要做的就是为LR找到一个凸的代价函数！在逻辑回归中，我们最常用的损失函数为对数损失函数，对数损失函数可以为LR提供一个凸的代价函数，有利于使用梯度下降对参数求解。为什么对数函数可以做到这点呢？我们先看一下对数函数的图像：

蓝色的曲线表示的是对数函数的图像，红色的曲线表示的是负对数的图像，该图像在0-1区间上有一个很好的性质，如图粉红色曲线部分。在0-1区间上当z=1时，函数值为0，而z=0时，函数值为无穷大。这就可以和代价函数联系起来，在预测分类中当算法预测正确其代价函数应该为0；当预测错误，我们就应该用一个很大代价（无穷大）来惩罚我们的学习算法，使其不要轻易预测错误。这个函数很符合我们选择代价函数的要求，因此可以试着将其应用于LR中。对数损失在LR中表现形式如下：

对于惩罚函数Cost的这两种情况：

给我们的直观感受就是：当实际标签和预测结果相同时，即y和同时为1或0，此时代价最小为0；当实际标签和预测标签恰好相反时，也就是恰好给出了错误的答案，此时惩罚最大为正无穷。现在应该可以感受到对数损失之于LR的好了。

为了可以更加方便的进行后面的参数估计求解，我们可以把Cost表示在一行：

这与我们之前给出的两行表示的形式是等价的。因此，我们的代价函数最终形式为：

该函数是一个凸函数，这也达到了我们的要求。这也是LR代价函数最终形式。

2.2 似然函数的求解-梯度下降

代价函数的求导过程

Sigmoid函数的求导过程：

故，sigmoid函数的导数

损失函数梯度求解过程：

故，参数更新公式为：

3、加入正则项

3.1 正则解释

正则：https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975

此时的w为。

对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

此时加入的正则化项，是解决过拟合问题。

下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||2 2即为L2正则化项。

ridge regression

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||1
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||2

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

3.2 L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

3.2.1 L1正则化和特征选择

稀疏模型与特征选择：

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|L=α∑w|w|，则J=J0+LJ，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数LL也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中0J与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与LL其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制LL图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

3.2.2 L2正则化和过拟合

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：