bzoj5093 [Lydsy1711月赛]图的价值 NTT+第二类stirling数

版权声明：虽然是个蒟蒻但是转载还是要说一声的哟 https://blog.csdn.net/jpwang8/article/details/86358630

Description

---

“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。
一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和。
给定n和k，请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和。
因为答案很大，请对 $998244353​$取模输出。

第一行包含两个正整数 $n,k(1\le n\le 10^9,1\le k\le 200000)$

Solution

---

注意到每个点的贡献都是一样的，我们只需要枚举每个点的度数单独考虑就行了
$ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n-1}{i}​$
然后就是非常套路的 $i^k=\sum\limits_{j=0}^k \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{i}{j}j!​$
带进去就是 $ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\sum\limits_{j=0}^{i}\binom{i}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!​$

交换枚举顺序 $ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{i}\binom{i}{j}​$

然后有等柿 $\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{i}\binom{i}{j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{j}\binom{n-j-1}{i-j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-j-1}{i-j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}2^{n-j-1}$

为什么呢？两个组合数相乘的意义等价于从 $n-1$个中直接取出 $j$个，剩余 $i-j$个随便选。或者直接化也可以

于是我们的答案可以这么算 $ans=n\cdot 2^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^{n-i-1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\binom{n-1}{i}i!$

注意到 $k>i$的时候斯特林数为 $0$，因此只需要算到 $min(n,k)$即可

斯特林数用容斥柿子NTT算，预处理阶乘和逆元就可以惹

Code

---

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
const int ny2=499122177;
const int N=1048580;

LL fac[N],rev[N],s[N],ny[N];

LL ksm(LL x,LL dep) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
		x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}

LL mod(LL x) {
	(x>=MOD)?(x-=MOD):0;
	(x<0)?(x+=MOD):0;
	return x;
}

void NTT(LL *a,int n,int f) {
	for (int i=0;i<n;++i) if (i<rev[i]) std:: swap(a[i],a[rev[i]]);
	for (int i=1;i<n;i<<=1) {
		LL wn=0;
		if (f==1) wn=ksm(3,(MOD-1)/i/2);
		else wn=ksm(3,(MOD-1)-(MOD-1)/i/2);
		for (int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
			LL w=1;
			for (int k=0;k<i;++k) {
				LL u=a[j+k],v=a[j+k+i]*w%MOD;
				a[j+k]=mod(u+v); a[j+k+i]=mod(u-v);
				w=w*wn%MOD;
			}
		}
	}
	if (f==-1) {
		LL ny=ksm(n,MOD-2);
		for (int i=0;i<n;++i) a[i]=ny*a[i]%MOD;
	}
}

int n,m;

void pre() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fac[0]=ny[0]=1; for(int i=1;i<N;++i) {
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	}
	ny[N-1]=ksm(fac[N-1],MOD-2);
	for (int i=N-2;i>=0;--i) {
		ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%MOD;
	}
	static LL b[N];
	int len=1,lg=0; for (;len<=m*2;len<<=1,++lg);
	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	for (int i=0;i<=m;++i) {
		s[i]=ny[i];
		if (i&1) s[i]=MOD-s[i];
		b[i]=ksm(i,m)*ny[i]%MOD;
	}
	NTT(s,len,1); NTT(b,len,1);
	for (int i=0;i<len;++i) s[i]=s[i]*b[i]%MOD;
	NTT(s,len,-1);
}

int main(void) {
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	pre();
	LL ans=0,lxf=1;
	for (int i=0,lim=std:: min(n-1,m);i<=lim;++i) {
		LL tmp=ksm(2,n-i-1)*s[i]%MOD*lxf%MOD*ny[i]%MOD*fac[i]%MOD;
		ans=mod(ans+tmp);
		lxf=lxf*(n-i-1)%MOD;
	}
	ans=n*ksm(2,1LL*(n-1)*(n-2)/2)%MOD*ans%MOD;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}