今天刷牛客网题目，用到背包问题的求解。在这里总结一下背包问题。
背包问题主要分为以下三种：
- 01背包
- 完全背包
- 多重背包
01背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这是我们最常遇见的背包问题，其实只要弄清楚状态转移方程即可。
f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])
来解释一下这个方程：
-
情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]
-
情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
我们来举个例子加深一下理解：蓝桥杯练习中的采药问题。
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入描述 Input Description
输入第一行有两个整数T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出描述 Output Description
输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 Sample Output
3
数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据规模】
对于30%的数据，M<=10；
对于全部的数据，M<=100。
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[101][1001];
int main()
{
int t, m;
cin >> t >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
for(int j = 1; j <= t; j++)
{
if(j >= a)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a] + b);
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
cout << dp[m][t];
return 0;
}
如果我们用一维数组来解题，状态压缩后：
设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm = 2001, maxn = 101;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品数量n
for (int i=1; i <= n; i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每个物品的重量和价值
for (int i=1; i <= n; i++) //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
for (int v = m; v >= w[i]; v--) //注意是逆序
f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
printf("%d\n",f[m]); // f(m)为最优解
return 0;
}
完全背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
完全背包和01背包十分相像， 区别就是完全背包物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选，选几件。
和01背包一样，我们可以写出状态转移方程：
f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0<=k*c[i]<=v)
还有一个简单的优化↓_↓
当一个物品的价值小于另一个物品的价值，但是价格高于另一个物品，我们就可以不去考虑这个物品。即若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。我们为什么要买一个又贵又难吃的东西呢(╯▽╰)
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=101;
int n,m,v,i;
int c[maxn],w[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n); //背包容量m和物品数量n
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(v=w[i]; v<=m; v++) //设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值
//这里是v++ 顺序 区别于01背包
f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
printf("%d\n", f[m]); // f[m]为最优解
return 0;
}
多重背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这里又多了一个限制条件，每个物品规定了可用的次数。
同理，我们可以得出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-kw[i]]+ kc[i]|0<=k<=n[i])
【问题描述】
为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
【输入格式】
第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。
接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。【输出格式】
第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。
【输入样例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【输出样例】
1040
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[6002], w[6002], s[6002];
int f[6002];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
{
if (j-k*v[i]<0) break;
f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
dp压缩后
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[10001],w[10001];
int f[6001];
int n,m,n1;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x,y,s,t=1;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
while (s>=t)
{
v[++n1]=x*t;
w[n1]=y*t;
s-=t;
t*=2;
}
v[++n1]=x*s;
w[n1]=y*s; //把s以2的指数分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1,
}
for(int i=1;i<=n1;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
记得去复习这个博客的讲解啊：
http://www.cnblogs.com/fengziwei/p/7750849.html