背包问题(01背包、完全背包、多重背包）

一：简单01背包



代码如下：

#include<iostream>
#include <functional>
using namespace std;
const int itemnum = 25;//物品数
const int valunum = 2005;//最大容量
int item[itemnum];
int volu[valunum];
int dp[itemnum][valunum];
int main()
{
    int V = 0, N = 0;//V是体积容量，N是物品数
    scanf("%d %d", &V, &N);
    //物品的体积
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        scanf("%d", &item[i]);
    }
    //将第一行第一列初始化为0
    for (int i = 0; i <= V; i++)
        dp[0][i] = 0;
    for (int i = 0; i <= N; i++)
        dp[0][i] = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= V; j++)
        {
            if (item[i] > j)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不放该物品
            else //如果当前物品体积小于等于此时最大体积容量，可以装下的最大容量为不放该物品和放该物品容量最大值
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - item[i]] + item[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", V - dp[N][V]);
    system("pause");
    return 0;
}

二：价值背包


注：可以把物品的费用理解为物品的体积。
例1：小米买了一个最大容量为N的行李箱去旅游，他想带很多物品，已经知道了每个物品体积大小 V 和的重要度 W ，小米想要带上的物品总重要度最高，你能帮帮他吗？(每个物品都只有一件，且行李箱子可以不装满。)

代码如下：

#include<iostream>
#include <functional>
using namespace std;
const int maxN = 105;
const int maxM = 105;
int main()
{
    int M, N;
    int vum[maxM] = { 0 };
    int value[maxM] = { 0 };
    int dp[maxM][maxN];
    while (scanf("%d %d", &N, &M) != EOF)
    {
        for (int i = 1; i <=M; i++)
            scanf("%d", &vum[i]); //每个物品体积
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            scanf("%d", &value[i]);//每个物品价值
        //第一行初始化为0
        for (int j = 0; j <= N; j++)
        {
            dp[0][j] = 0;
        }
        //第一列初始化为0
        for (int i = 0; i <= M; i++)
        {
            dp[i][0] = 0;
        }
        //N是容量  M是数量
        for (int i = 1; i <=M; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= N; j++)
            {
                if (vum[i] > j)
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i-1 ][j], dp[i-1 ][j - vum[i]]+value[i]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[M][N]);
    }
    system("pause");
    return 0;
}

三：完全背包
完全背包和01价值背包问题的区别在于每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有一个。
在递推公式时，需要加以改变：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 注意这里需要考虑放入一个物品i时还可能继续放入i，所以不能是dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]);

#include<iostream>
#include <functional>
using namespace std;
const int maxN = 105;
const int maxM = 105;
int main()
{
    int M, N;
    int weight[maxM] = { 0 };
    int value[maxM] = { 0 };
    int dp[maxM][maxN];
    int num[maxM] = { 0 };//记录每个物品放多少
    while (scanf("%d %d", &N, &M) != EOF)
    {
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            scanf("%d", &weight[i]); //每个物品体积
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            scanf("%d", &value[i]);//每个物品价值
        //第一行初始化为0
        for (int j = 0; j <= N; j++)
        {
            dp[0][j] = 0;
        }
        //第一列初始化为0
        for (int i = 0; i <= M; i++)
        {
            dp[i][0] = 0;
        }
        //N是容量  M是数量
        //计算前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值
        for (int i = 1; i <= M; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= N; j++)
            {
                if (weight[i] <= j)
                {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); //注意是dp[i][j-weight[i]],因为要考虑放入一个物品i时可能继续放入i
                }
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        //计算每个物品放入的个数
        int j = N;
        for (int i = M; i > 0; i--)
        {
            if (dp[i][j] == dp[i][j - weight[i]] + value[i])
            {
                num[i]++;
                j = j - weight[i];
            }
        }
        //打印前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值
        for (int i = 1; i <= M; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                printf("%d ", dp[i][j]);
            printf("\n");
        }
        //M个物品放入容量为N的背包的最大价值
        printf("%d\n",dp[M][N]);
        //每个物品放入的个数
        for (int i = 1; i <= M; i++)
        {
            printf("%d ", num[i]);
        }
    }
        system("pause");
        return 0;
    }

四：多重背包
多重背包和01背包、完全背包的区别：多重背包中每种物品的数量是给定的，可能不是一个，绝对不是无限个。
方法一：转化为01背包。若有kind中物品，每种物品num个，将这些物品用01背包问题解决。
代码如下：

#include<iostream>
#include <functional>
const int maxN = 105;
const int maxM = 105;
int main()
{
    int kind = 0, N = 0; //N是背包容量，kind是物品种类
    int weight[maxM] = { 0 };
    int value[maxM] = { 0 };
    int dp[maxM][maxN];
    scanf("%d %d", &kind,&N);
    int countnum = 1;//一个的物品数
    for (int i = 0; i < kind; i++)
    {
        int num;//每种物品有num件，
        scanf("%d", &num);
        int weight1, value1;
        scanf("%d %d", &weight1, &value1);
        while (num--)
        {
            weight[countnum] = weight1;
            value[countnum] = value1;
            //输入每种物品的每件物品的体积和价值
            countnum++;
        }
    }
    //第一行初始化为0
    for (int i = 0; i <= N; i++)
        dp[0][i] = 0;
    //第一列初始化为0
    for (int i = 0; i < countnum; i++)
        dp[i][0] = 0;
        //转化为01背包
    for (int i = 1; i < countnum; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= N; j++)
        {
            if (weight[i] <= j)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    printf("%d", dp[countnum - 1][N]);
    system("pause");
    return 0;
    }

方法二：
计算考虑kind种物品承重限制为N时最大价值f[kind][N]时，递推公式考虑两种情况，要么第 i 种物品一件也不放，就是f[i-1][j], 要么第 i 种物品放 k 件，其中 1 <= k <= (N/weight[i])，考虑这一共 k+1 种情况取其中的最大价值即为f[i][j]的值，即f[i][j] = max{f[i-1][j], (f[i-1][j-k*weight[i]]+k*value[i])}。 这里为什么不能像完全背包一样直接考虑f[i][j-weight[i]]+value[i]呢？因为这样不容易判断第 i 种物品的个数是否超过限制数量 num[i]。

#include<iostream>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxN = 105;
const int maxM = 105;
int main()
{
    int kind = 0, N = 0; //N是背包容量，kind是物品种类
    int weight[maxM] = { 0 };
    int value[maxM] = { 0 };
    int dp[maxM][maxN];
    int num[maxM];
    scanf("%d %d", &kind, &N);
    for (int i = 1; i <= kind; i++)
    {
        scanf("%d", &num[i]);//每种物品的数量
        scanf("%d %d", &weight[i], &value[i]);//每种物品的体积和价值
    }
    //第一行初始化为0
    for (int i = 0; i <= N; i++)
        dp[0][i] = 0;
    //第一列初始化为0
    for (int i = 0; i <= kind; i++)
        dp[i][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= kind; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= N; j++)
        {
            if (weight[i] <= j)
            {
                int count = min(num[i], j / weight[i]);//取种该物品件数和此时容量允许容纳该物品件数最小值
                for (int k = 1; k <= count; k++)
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - k*weight[i]] + k*value[i]);//注意是dp[i - 1][j - k*weight[i]] 
            }
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    printf("%d\n", dp[kind][N]);
    system("pause");
    return 0;
}