51 nod 背包问题 V2 （多重背包二进制分解）

背包问题 V2 

李陶冶 (命题人)

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40

有N种物品，每种物品的数量为C1，C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Input

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

Output

输出可以容纳的最大价值。

Input示例

3 6
2 2 5
3 3 8
1 4 1

Output示例

9

01背包问题：

https://blog.csdn.net/qq_42217376/article/details/81251686

多重背包就是限制了每种物品的个数：

如果我们把种物品都分解成n中物品，那么这不就和01背包解法一样了吗？

代码（TLE）：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
int c[20001],v[20001],p[105],dp[50005];
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d%d",&c[i],&v[i],&p[i]);
        int k=n+1;
        //每个物品的个数当成p种物品
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(p[i]!=1)
            {
                c[k]=c[i];
                v[k]=v[i];
                k++;
                p[i]--;
            }
        }
        for(int i=1;i<k;i++)
        {
            for(int j=m;j>=c[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+v[i]);
        }
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
    return 0;
}

复杂度O(nmp)

看到很多博客上面有另外一种分解方法，二进制分解

AC代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
int c[20001],v[20001],dp[50005];
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int x=1;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        while(n--)
        {
            int c1,v1,p;
            scanf("%d%d%d",&c1,&v1,&p);
            for(int i=1;i<=p;i<<=1)
            {
                c[x]=i*c1;
                v[x]=i*v1;
                x++;
                p-=i;
            }
            if(p>0)
            {
                c[x]=p*c1;
                v[x]=p*v1;
                x++;
            }
        }
        for(int i=1;i<x;i++)
        {
            for(int j=m;j>=c[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+v[i]);
        }
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
    return 0;
}

在背包九讲中截了解释，我觉得我有点说不清楚，大家自行感受。