【51nod 1086】 背包问题 V2 （多重背包）

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多重背包裸题…

$c$ 表示物品个数，$w$ 表示物品体积，$v$ 表示物品价格，以下不做特殊解释

多重背包的问题，我们可以物品拆开，然后用01背包来求，复杂度是 $O(m\sum c)$

但显然这样复杂度比较大，有两种优化：二进制分组、单调队列优化

先来说下二进制分组，也是把物品拆开，只不过不是拆成一个，而是根据二进制拆，因为我们知道1、2、4、8…可以组成所有数。因此把一个物品拆成log份，复杂度为 $O(m\sum logc)$

而单调队列优化可以优化到 $O(nm)$
考虑转移方程 $f[i][j]=max(f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])$ 其中 $0<=k<=min(c[i],\frac{j}{w[i]})$
设 $a=j/w[i],b=j%w[i]$,即 $j=a*w[i]+b$
转移方程变为 $f[i][w*v[i]+b]=max(f[i-1][(a-k)*w[i]+b]+k*v[i])$ 其中 $0<=k<=min(a,c[i])$
再令 $s=a-k$ ,得到 $f[i][a*w[i]+b]=max(f[i-1][s*w[i]+b]-s*v[i])+a*v[i]$ 其中 $a-min(a,c[i])<=s<=a$
因此枚举 $b$ ，用单调队列维护 $f[i-1][s*w[i]+b]-s*v[i]$ 最大值即可

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 10010
#define mp make_pair
pair<int,int>q[N];
int n,m,w[N],v[N],c[N],f[N*5];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        c[i]=min(c[i],m/w[i]);
        for(int d=0;d<w[i];d++){    //枚举余数 
            int st=1,ed=0;
            for(int j=0;j<=(m-d)/w[i];j++){
                int tmp=f[j*w[i]+d]-v[i]*j;
                while(st<=ed && tmp>=q[ed].first) ed--;
                while(st<=ed && q[st].second<j-min(c[i],j)) st++;
                q[++ed]=mp(tmp,j);
                f[j*w[i]+d]=q[st].first+j*v[i];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0; 
}