多重背包问题2 | 二进制拆分

多重背包问题2

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from acwing 5

时间限制：1s

空间限制：64MB

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题目描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式：

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、价值和数量。

输出格式：

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：

0 < N <= 1000

0 < V <= 2000

0 < vi,wi,si <= 2000

输入样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

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多重背包问题2在多重背包问题1的基础上数据量变大了不少，再用之前的算法是行不通的

这个题目很多题解都是将某种物品进行二进制拆分。

 	int v,w,s;cin>>v>>w>>s;
    for(int j = 1;j <= s;s -= j,j *= 2)

从代码中可以看到，将一种物品分为了1、2、4、8…多个部分，把这其中的每个部分看成一个新的商品。

然后再进行类似01背包的操作就可以了。

为什么这样做可以呢？

首先，比如某商品有7件，那么我们拆分为了1、2、4三个新的部分，对于每个部分我们都进行01背包的操作，每个部分都是有或无，那么通过这三个部分是能组合成所有情况的（根据1、2、4的选择与否可以组合成0 - 7一共8种情况），所以虽然分成了3个部分，但是我们需要该商品的件数的所有情况都是能凑出来的。

其次，二进制拆分过后，时间复杂度就变成了O(logn)，原来有1024件某商品，我们现在只需要分成10个部分就可以了，效率会高很多。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int N,V,dp[2005];       //dp表示背包状态
int main(){
    
    
    cin>>N>>V;
    for(int i = 1;i <= N;++i){
    
    
        int v,w,s;cin>>v>>w>>s;
        for(int j = 1;j <= s;s -= j,j *= 2){
    
           //二进制拆分
            for(int k = V;k >= j * v;--k)
                if(dp[k] < dp[k - j * v] + j * w)
                    dp[k] = dp[k - j * v] + j * w;
        }
        if(s)                             //二进制拆分剩余
            for(int k = V;k >= s * v;--k)
                if(dp[k] < dp[k - s * v] + s * w)
                    dp[k] = dp[k - s * v] + s * w;
    }
    cout<<dp[V];
    return 0;
}