背包问题之多重背包---51nod（1086）

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

有N种物品，每种物品的数量为C1，C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Input

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

Output

输出可以容纳的最大价值。

Input示例

Output示例

接下来是我一些个人想法，可能不太正确，欢迎大佬指点批评。

首先了解，任何一个数都可以表示成2的幂次的和的形式，而下边的代码就用到了这一点。例如14，2+4+8=14。但是接下来的用法也不完全按这样用，它是按照从1开始作为一部分，依次乘2作为一部分，当乘到比该物品少时停止乘2，把剩下的作为一部分。具体看代码注释。

下图是我自己模拟的整个代码的运行过程：

看上图，经过上个过程已对w数组和v数组初始化，然后可以把数据用01背包问题实现，下图是用01背包处理初始化w数组和v数组之后的结果，和答案一致。

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll v[20003];//价值数组
ll dp[50003];
ll w[20003];//体积数组
ll m,n;//n是物品的种类,m为背包的容量
int main()
{
    int V,W,C,ans=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>W>>V>>C;//W为物品的体积,V为物品的价值,C为物品的数量
        for(int j=1;;j*=2)//j就相当于把数量C分解为2的幂次表示
        {                 //例如 8--> 1+2+4 之后C=1<j=8
            if(C>=j)      //故数量为8的就可分为 1+2+4+C==8
            {
                w[ans]=j*W;//相当于在转换01背包过程中初始化w[i]数组
                v[ans]=j*V;//同理，初始化v[i]数组
                C-=j;
                ans++;
            }
            else
            {
                w[ans]=C*W;
                v[ans]=C*V;
                ans++;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<ans;i++)//很明显转换成了01背包问题
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

以上均为个人想法，如有错误，还请大佬指出批评。

背包问题之多重背包---51nod（1086）

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