【ACWing】878. 线性同余方程

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/880/

给定$n$组数$a_i,b_i,m_i$，求同余方程$a_{i}x\equiv b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$的解。若无解，则输出impossible。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i,b_i,m_i\le 2\times 10^9$

其实就是求$ax+my=b$的一组解，这可以用扩展欧几里得算法来求。如果$(a,m)\nmid b$，则无解，否则先求出$ax+my=(a,m)$的一组解，然后两边乘以$\frac{b}{(a,m)}$即可。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    
    
    if (!b) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;

    while (n--) {
    
    
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);

        if (b % d == 0) printf("%d\n", (long) x * (b / d) % m);
        else printf("impossible\n");
    }

    return 0;
}

每次询问时空复杂度 O ( log ⁡ min ⁡ { a , m } ) O(\log \min\{a,m\}) O(logmin{ a,m})。