数论-扩展欧几里得算法

1.推导过程

在这里插入图片描述

2.代码模板

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

3.题目练习

AcWing-877- 扩展欧几里得算法
给定n对正整数ai,bi，对于每对数，求出一组xi,yi，使其满足ai∗xi+bi∗yi=gcd(ai,bi)。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含两个整数ai,bi。
输出格式
输出共n行，对于每组ai,bi，求出一组满足条件的xi,yi，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的xi,yi均可。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi≤2∗109
输入样例：
2
4 6
8 18
输出样例：
-1 1
-2 1
AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b,int &x,int &y )
{
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int d=exgcd(b, a%b, y, x);
		y -= a / b * x;
		return d;
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b, x, y;
		cin >> a >> b;
		exgcd(a, b, x, y);
		cout << x << " " << y << endl;
	}
	return 0;
}

4.AcWing 878. 线性同余方程

1.题目

给定n组数据ai,bi,mi，对于每组数求出一个xi，使其满足ai∗xi≡bi(mod mi)，如果无解则输出impossible。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一组数据ai,bi,mi。
输出格式
输出共n行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi，如果无解则输出impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在int范围之内。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi,mi≤2∗109
输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
7

2.ac代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int d = exgcd(b, a%b, y, x);
		y -= a / b * x;
		return d;
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b, m, x, y;
		cin >> a >> b >> m;
		int d = exgcd(a, m, x, y);
		if (b%d)  //如果b不是d的倍数，则无解
		{
			cout << "impossible" << endl;
		}
		else
		{
			cout << (ll)x * b / d%m << endl;
		}
	}
	return 0;
}

1.因为 a∗x ≡ b(mod m)等价于 a∗x−b 是m的倍数，因此线性同余方程等价为 a∗x+m∗y=b
2.根据 Bezout 定理，上述等式有解当且仅当 gcd(a,m)|b
3.因此先用扩展欧几里得算法求出一组整数 x0,y0 使得 a∗x0+m∗y0=gcd(a,m)。然后 x=x0∗b/gcd(a,m)%m 即是所求。