最大公约数的求法中最过著名的莫过于欧几里得辗展相除法，它有两种形式（递归与非递归，其实是一样的，任何递归都可以写成非递归），下面看看GCD的实现代码：
long long gcd( long long a, long long b) {
if(b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
扩展的欧几里德算法是求如a * x + b * y = (a, b) 这样的整数解的，可以仿照欧几里德算法得出答案。程序如下：
void extend_gcd( long long a, long long b, long long& x, long long &y) {
if (b == 0 ) {
x = 1 ;
y = 0 ;
return ;
}
extend_gcd(b, a % b, x, y);
long long tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
}
上述程序只是得到了一组解，很显然解是不唯一的：x增加b, y减少a一定是原方程的一组解：
a * (x + b) + b * (y - a) = a * x + b * y = (a, b)。
然而在应用上，往往并不是如此简单，很多时候会求解不定方程a * x + b * y = n。这个时候还是应用上面的算法：
- 求(a，b), 设c = (a，b)，如果! c|n，则不存在整数解。因为将上式左右两边都除以c，可以知道，左边为整数，右边为非整数，故矛盾。
- 将左右两边同时除以c,设得到新的方程为a' * x + b' * y = n'，应用上述算法求a' * x + b' * y = 1的解（由第一步知道(a'，b') = 1）。设结果为x', y'。
- x = x' * n' , y = y' * n'是方程a * x + b * y = n。这个比较好理解，将a' * x + b' * y = 1两边同时扩大n'倍就行了。
- x = x' * n' + t * b, y = y' * n' - t * a（t为整数)是原方程a * x + b * y = n的所有解。
- /*
- 扩展欧几里得定理
- 扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，
- 使得ax+by==gcd(a,b);
- 拓展欧几里得实现
- 下面面的程序中,x和y用全局变量保存
- int gcd(int a,int b)
- {
- int t,d;
- if(b==0)
- {
- x=1;
- y=0;
- //此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a=gcd(a,b)--> x==1,y==0
- return a; //返回a,b最大公约数的值
- }
- d=gcd(b,a%b); //欧几里得求最大公约数应用
- t=x;
- x=y;
- y=t-(a/b)*y; //不明处2
- return d; //返回a,b最大公约数的值
- }
- //不明处2 解释 ax+by==gcd(a,b)（1）
- 说明规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。
- 那么gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，
- 有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下
- b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，
- 最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
- 也就是说：
- 上一深度的x等于下一深度的y1，
- 上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。
- *需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法
- 因此，得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。
- 那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。
- 很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))
- 再深入一点，就解出这么一组解其实一般来说是解决不了什么问题的，
- 我们现在要得到所有的解，那么这所有的解究竟是什么呢？
- 假设d=gcd(a,b). 那么x=x0+b/d*t; y=y0-a/d*t;其中t为任意常整数。
- */
- #include<stdio.h>
- #include<stdlib.h>
- /*
- 求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
- 即求ax=mb+r 1=nb+r
- 变形ax+(n-m)b=1，此方程即拓展欧几里德的应用ax+by=gcd(a,b),（n-m相当于y）
- 事实上ax ≡1(mod b) 有解的必要条件是gcd(a,b)|1，即gcd(a,b)=1；
- 使用拓展欧几里得可知 ax+by=1（x,y是整数）
- */
- int Extragcd(int a,int b,int *x,int *y)
- {
- int d,t;
- if(b==0) //递归调用终止条件，当根据欧几里得辗转相除法则，余数为0停止
- {
- *x=1;
- *y=0;
- return a;
- }
- else
- {
- d=Extragcd(b,a%b,x,y);
- t=*x; //根据下一个x1,y1的值，倒推前一个x,y的值
- *x=*y;
- *y=t-a/b*(*y);
- return d;
- }
- }
- int main()
- {
- int a,b,x,y;
- int ans;
- freopen("mod.in","r",stdin);
- freopen("mod.out","w",stdout);
- scanf("%d%d",&a,&b);
- ans=Extragcd(a,b,&x,&y);
- if(ans!=1) return 0;
- //根据若x是方程的一个解，则方程的所有解为x+k*b k为整数
- x=x%b; //保证最小的正整数解x ,且x属于{0,1,2,3...b-1}
- while(x<=0)
- x+=b ;
- printf("%d\n",x);
- return 0;
- }
ax+by=c问题
问题：ax+by=c，已知a、b、c，求解使该等式成立的一组x，y。其中a、b、c、x、y均为整数
a,b的最大公约数为gcd(a,b)。如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该等式无解，因为等式左边除以gcd(a,b)是整数，
而等式右边除以gcd(a,b)后为小数。(根据解方程的时候，在等式的左右两边同时除以非0的整数，等式依然成立)
因此，只有当c是gcd(a,b)的倍数的时候，该等式有解。这样，可以通过计算使ax1+by1=gcd(a,b)成立的x1、y1，
然后有x=(c/gcd(a,b))*x1，y=(c/gcd(a,b))*y1，得到x,y。
问题就被转换为求使ax+by=gcd(a,b)成立的一组x,y。这可以用扩展欧几里德算法求解。如下：
根据欧几里得的辗转相除法，最终如果b为零，则gcd(a,b)=a，那么x=1,y=0为一组解。(一组重要的特解)
如果b不为零，根据欧几里德定理，可以设
ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2=bx2+(a-(a/b)*b)y2
进一步化简可以得到 -> a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)
化简后有x1=y2，y1=x2-(a/b)y2。因此x1,y1依赖于x2,y2，同理依次类推递归调用求出x3,y3,x4,y4……，
类似于辗转相除，直到b=0时，求出xn,yn，便可以由后往前倒推出x1,y1的值。
扩展欧几里德算法：
- // 扩展欧几里德算法,解gcd(a, b) = ax + by
- // 结果存储在x,y中,用户调用时保证a、b、c都是整数
- // 返回a,b的最大公约数
- int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y)
- {
- if(b == 0) // gcd(a, b) == a
- {
- x = 1;
- y = 0;
- return a;
- }
- int n = extended_euclid(b, a%b, x, y);
- int tmp = x;
- x = y;
- y = tmp - static_cast<int>(a/b)*y;
- return n;
- }
- // 等式ax+by=c,已知a、b、c,求x和y。
- // 解该线性方程等同于解同余式ax = c(mod b)
- // 返回值表示是否有解,true有解,false无解
- bool linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y)
- {
- int n = extended_euclid(a, b, x, y);
- if(c%n)
- return false;
- int k = c/n;
- x *= k;
- y *= k;
- return true;
- }
linear_equation函数也可以用来解同余式ax=c(mod b)。
由ax=c(mod b)，可以得到ax = mb+r；c = nb+r。化简可以得到ax+(n-m)b=c。调用linear_equation可以求出x。