[2018.07.10 T3]数论题

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数论题

【问题描述】

企鹅国数学家 QQ 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！

一个 QQ 数定义为一个拥有一个大于 1 的完全平方数为因子的数字，一个数字的QQ 值定 义为这个数是 QQ 数的因数个数。

现在 QQ 想知道在[L,R]范围内，每个整数的 QQ 值之和是多少？

你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 10 分作为一个奖励！

【输入格式】

第一行两个整数 L, R 代表要求的数字范围；

【输出格式】

输出一个整数表示 L~R 里每个数字的 QQ 值之和。

【输入样例】

1 10

【输出样例】

4

【样例说明】

4 的QQ 值为 1，8 的QQ 值为 2，9 的QQ 值为 1。

【数据范围】

对于 10%的数据，R≤10^4；
对于另外 30%的数据，R≤10^6；
对于另外 10%的数据，R≤10^7；
对于 100%的数据，1≤L≤R≤10^9；

题解

从一眼看出要搞$\mu$之后，似乎没有什么实质进展，然而我有梦想啊！！！

$\mathcal{After\ 3\ hours...}$

呵呵，$40$分滚粗。

虽然看出了$\mu(i)=0$的就是$\mathcal{QQ}$数，然而感觉没有什么好的表示法，线筛$QQ$值得梦想也破灭了，唉我的数论还是太菜了。。。

为啥我想不到$1-\mu^2(i)$来表示$\mathcal{QQ}$数啊？？？$\mathcal{sh*t}$！

这样以后，就能列出初始的式子：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{p|i}[1-\mu^2(p)]$$

对于枚举约数的操作，我们可以替换成枚举倍数，这两个枚举是等价的，并且当因子为$\mathcal{QQ}$数时，倍数也一定为$\mathcal{QQ}$数，所以可以化简如下：

$$\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor[1-\mu^2(i)]$$

注意到$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$是可以用下底分块解决的，那么我们只要处理出$\sum_{i=1}^n[1-\mu^2(i)]$，即$[1,n]$中$\mathcal{QQ}$数的个数，这个当然可以线筛，不过只能过$1e7$的，实际上$\mathcal{QQ}$数的个数还可以表示如下：

$$\sum_{i=1}^n[1-\mu^2(i)]=\lfloor\frac{n}{2^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{3^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor-\lfloor\frac{n}{6^2}\rfloor+...$$

含义很简单，就是枚举所有非$\mathcal{QQ}$数的平方的倍数，非$\mathcal{QQ}$的平方必定是$\mathcal{QQ}$数，平方的倍数肯定也是$\mathcal{QQ}$数，但是一个数会被它的因数给算重，所以需要套个$\mu$去重，最后的形式如下：

$$\sum_{i=2}^{\sqrt{n}}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor$$

注意，因为我们枚举的是非$\mathcal{QQ}$数作为平方根（$\mathcal{QQ}$数本身的$\mu$值为$0$，直接被消掉了），所以枚举上界为$\sqrt{n}$。

这样复杂度就对了，愉快的$\mathcal{AC}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e6+5;
int miu[M],p[M],mx,le,ri;
bool isp[M];
void get()
{
    int i,j,t;
    miu[1]=1;
    for(i=2;i<=mx;++i)
    {
        if(!isp[i])p[++p[0]]=i,miu[i]=-1;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>mx)break;
            isp[t]=1;
            if(i%p[j]==0){miu[t]=0;break;}
            miu[t]=-miu[i];
        }
    }
}
ll miu2(int x)
{
    int b=sqrt(x);ll ans=0;
    for(int i=2;i<=b;++i)ans-=miu[i]*(x/i/i);
    return ans;
}
ll calc(int x)
{
    ll ans=0,tmp,pre=0;
    for(int l=1,r;l<=x;l=r+1){r=x/(x/l);tmp=miu2(r);ans+=1ll*(tmp-pre)*(x/l);pre=tmp;}
    return ans;
}
void in(){scanf("%d%d",&le,&ri);}
void ac(){mx=sqrt(ri);get();printf("%lld",calc(ri)-calc(le-1));}
int main(){in();ac();}