小凯的疑惑 NOIP2017

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

题解

不妨设 $a < b a<b$

假设答案为 $x$

若

$x \equiv ma \pmod b (1 \leq m \leq b - 1)$

即

$x = ma + nb (1 \leq m \leq b - 1)$

显然当 $n \geq 0 n≥0$ 时 $x$ 可以用 $a, b$ 表示出来，不合题意。

因此当 $n = -1$ 时 $x$ 取得最大值，此时 $x = ma - b$。

显然当 $m$ 取得最大值 $b - 1$ 时 $x$ 最大，此时$x = (b - 1)a - b = ab - a - b$

因此 $a, b$ 所表示不出的最大的数是 $ab - a - b$

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