NOIp D1T1 小凯的疑惑

吐槽

果然让人很疑惑，这道题，对于我这种数学渣渣来说太不友好了，哪里想得到结论，猜也猜不到。

思路一

纯数学，见过的飞快切掉，没见过的就...

结论就是：已知$a,b$为大于$1$的互质的正整数，则使不定方程$ax+by=C$不存在非负整数解的最大整数$C=ab−a−b$

好像是叫什么赛瓦维斯特定理，但是除了这道题的题解之外，我没有在其它任何地方搜到，跟数学相关的痕迹一点都没有，太神奇了，难道这是一个只有$OIer$才研究的公式？

证明一下吧。

首先，先证$ax+by=ab−a−b（a,b>1,(a,b)=1）$不存在非负整数解。

用反证法，假设存在$x>=0,y>=0$，使得$ax+by=ab−a−b（a,b>1,(a,b)=1）$成立。

移项，得$a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$

$a*(x+1)=b*(a-y-1)$

又因为$(a,b)=1$

则$b|(x+1)$

同理可证：$a|(y+1)$

又因为$x>=0,y>=0$

所以$x>=b,y>=a$

则$a*(x+1)+b*(y+1)>=ab+ba>=2ab$

因为$a>1,b>1$

所以$ab>1$

所以$2ab>ab$

与之前假设的$a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$矛盾，所以假设不成立。

接下来，需要证明$ax+by=C（a,b>1,(a,b)=1）$中，对于所有的$C>ab-a-b$，方程都存在非负整数解

设$C=ka+m-a-b(k>=b,a<=m<=a-1)$,即$ax+by=ka+m-a-b(k>=b,1<=m<=a-1)$

因为$(a,b)=1$，根据裴蜀定理，可知存在$x_0,y_0∈Z$，使$ax_0+by_0=1$

所以存在$x_0,y_0∈Z$，使$ax_0+by_0=m$

$y_0=(m-ax_0)/b$，对于$m%b$的不同，有$b-1$种$x_0$的取值，使得$y_0$是整数

我们令$-(b-1)<=x_0<=-1$，以此来先保证$y_0>=0$

由于$-ax_0>1,m>=1$，所以事实上$y_0>=1$

于是取$y=y_0-1$，则$y>=0$

则$x_0=(m-by_0)/a$,

$x=(ka+m-a-b-by)/a=k-1+(m-b-by)/a=k-1+(m-b-b(y0-1))/a=k-1+(m-by_0)/a=k-1+x_0$

又因为$-(b-1)<=x_0<=-1$,则$-(b-1)+k-1<=x<=-1+k-1$,$-b+k<=x<=k-2$

又因为$k>=b$，则$-b+k>=0$，则$x>=0$

得证。

思路二

暴力打表找规律，不过在没有OEIS的情况下我一般都找不出来的...

这就要看运气了

代码

说实话，这道题不贴代码都可以qwq

 1 #include<iostream>
 2 #include<string>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<vector>
 8 using namespace std;
 9 #define N 255
10 #define ll long long 
11 #define INF 0x3f3f3f3f
12 ll a,b;
13 int main()
14 {
15     scanf("%lld %lld",&a,&b);
16     printf("%lld\n",a*b-a-b);
17     return 0;
18 }