[Noip2017]小凯的疑惑 exgcd 同余类BFS

$ \rightarrow $ 戳我进洛谷原题

小凯的疑惑

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题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。
每种金币小凯都有 无数个。
在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。
现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？
注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。
　

输入输出格式

输入格式

两个正整数 $ a $ 和 $ b $ ，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式：

一个正整数 $ N $ ，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
　

输入输出样例

输入样例#1

 3 7

输出样例#1

 11

　

说明

【输入输出样例 1 说明】

小凯手中有面值为 $ 3 $ 和 $ 7 $ 的金币无数个，
在不找零的前提下无法准确支付价值为 $ 1,2,4,5,8,11 $ 的物品，
其中最贵的物品价值为 $ 11 $ ，比 $ 11 $ 贵的物品都能买到，比如：
$ 12 = 3 \times 4 + 7 \times 0 $
$ 13 = 3 \times 2 + 7 \times 1 $
$ 14 = 3 \times 0 + 7 \times 2 $
$ 15 = 3 \times 5 + 7 \times 0 $

　

【数据范围与约定】

对于 $ 30 $ %的数据： $ 1 \le a,b \le 50 $ 。
对于 $ 60 $ %的数据： $ 1 \le a,b \le 10^4 $ 。
对于 $ 100 $ %的数据：$ 1 \le a,b \le 10^9 $ 。
　

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题解

• 常规解法：

• 根据 $ exgcd $ ，不考虑 $ p,q \ge 0 $ 的情况下，通解 $ p=p_0 + k \times b, q=q_0- k \times a $

• $ p,q \ge 0 $ 时，不能表示的必然满足 $ p>0, \quad q>0, \quad p-b<0, \quad q+a>0 $

• 应取 $ p=b-1,q=-1 $ ，此时 $ p \times a+q \times b $ 有最大值

• 答案为 $ a*b-a-b $

　

• 同余类 $ BFS $ 思想：

• 编号为 $ 0~a-1 $ 的 $ a $ 个点，每个点 $ x $ 到 $ (x+b)\quad mod \quad a $ 连边

• 由 $ a,b $ 互质可知 $ 0,b,2 \times b, \dots , (a-1) \times b $ 在 $ mod \quad a $ 后必然各不相同

• 这也是各个同余类中最小能标识的非负整数（最短路）

• 不能表示的，就是再减掉 $ a $ ，其中最大的是 $ (a-1)*b-a $