NOIP2017 Day1 T1 小凯的疑惑 真·奥义·蒟蒻总结

题目空降

Description

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

Input

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。

Output

输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

Analysis

由于本人蒟蒻不会证明，转载一发大佬证明。神犇勿喷。

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用到一个引理：不定方程$ax+by=c(a,b,c\gt0)$一定有一组解$(x_1,y_1)$满足$-a\lt y_1\leq0$且$x_1\gt0$

先证引理

首先，显然$x,y$中至少有一个非负（都是负数怎么等于$c$）

然后假设有一组特解$(x_0,y_0)$，那么通解为$(x_0+bt,y_0-at)(t\in Z)$

所以有一组特解$(x_1,y_1)$满足$-a\lt y_1\leq0$

因为$y_1\leq0$，所以$x_1\gt0$

引理得证

再证原命题

$a=1$或$b=1$时命题成立，下面考虑$a\gt1,b\gt1$

分两步：

1.证$ab-a-b\neq ax+by$

假设$ab-a-b=ax+by(x\geq0,y\geq0)$

那么$ab=a(x+1)+b(y+1)$

令$m=x+1,n=y+1(m\geq1,n\geq1)$，则$ab=am+bn$

所以$a|bn$

又因为$gcd(a,b)=1$，所以$a|n$，不妨设$n=an'$

上面的式子变为$ab=am+abn'$，推出$am=(1-n')ab\leq0$，矛盾！

原命题得证

2.证$ab-a-b+t(t\geq1)$可以被分解为$ax+by$的形式

构造不定方程$au+bv=t$，由引理得它有一组特解满足$-a\lt v_0\leq0$且$u_0\gt0$

$ab-a-b+t=ab-a-b+au_0+bv_0=(u_0-1)a+(v_0+a-1)b$

因为$u_0-1\geq0,v_0+a-1\geq0$，所以原命题得证

所以，$ab-a-b$是最大的不能被表示为$ax+by$的整数

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long a,b;

int main()
{
    freopen("math.in","r",stdin);
    freopen("math.out","w",stdout);

    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",a*b-a-b);

    return 0;
}