1.
在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？
使用小学生方法。
千位为1或0，百位为2： 2 × 10 × 10 = 200 2\times 10\times 10=200 2×10×10=200
千位为1或0，百位不为2，十位为2： 2 × 9 × 10 = 180 2\times 9\times 10=180 2×9×10=180
千位为1或0，百位不为2，十位不为2： 2 × 9 × 9 = 162 2\times 9\times 9=162 2×9×9=162
共 200 + 180 + 162 = 542 200+180+162=542 200+180+162=542
2.
在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？
串内有6个1,1个0：5种
串内有5个1,2个0：在11111中有6个位置可选2个位置插入0，排除掉同时插在首尾的0111110，共 ( 6 2 ) − 1 = 14 \binom{6}{2}-1=14 (26)−1=14
串内有4个1,3个0：若2个0连续，1个0不连续，在1111中，有 ( 5 2 ) P ( 2 , 2 ) \binom{5}{2}P(2,2) (25)P(2,2)种，但排除0开头/结尾的情况 4 × 2 = 8 4\times 2=8 4×2=8种，共 ( 5 2 ) P ( 2 , 2 ) − 8 = 12 \binom{5}{2}P(2,2)-8=12 (25)P(2,2)−8=12种。若3个0不连续，在1111中共 ( 5 3 ) − 1 \binom{5}{3}-1 (35)−1共9种
串内有3个1，其余全为0：必有子串1011或1101，可在1011或1101前插入1/2/3/4个0，其余0放在末尾，共 4 × 2 = 8 4\times 2=8 4×2=8种。
5+14+12+9+8=48
4.
n = 3 × 5 × 4 × 3 = 180 n=3\times 5\times 4\times 3=180 n=3×5×4×3=180
这180个数字的个位和： ( 2 + 4 + 6 ) × 60 = 720 (2+4+6)\times 60=720 (2+4+6)×60=720
十位和： ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) × 12 + ( 1 + 3 + 4 + 5 + 6 ) × 12 + ( 1 + 2 + 3 + 5 + 6 ) × 12 = 612 (1+2+3+4+5)\times 12+(1+3+4+5+6)\times 12+(1+2+3+5+6)\times 12=612 (1+2+3+4+5)×12+(1+3+4+5+6)×12+(1+2+3+5+6)×12=612
612 × 10 = 6120 612\times 10=6120 612×10=6120
百位和： 612 × 100 = 61200 612\times 100=61200 612×100=61200
千位和： 612 × 1000 = 612000 612\times 1000=612000 612×1000=612000
m = 612000 + 61200 + 6120 + 720 = 680040 m=612000+61200+6120+720=680040 m=612000+61200+6120+720=680040
5.
从 { 1 , 2 , . . . , 7 } \{1,2,...,7\} {
1,2,...,7}中选出5个不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数字有多少个？
没有1、2： P ( 5 , 5 ) = 120 P(5,5)=120 P(5,5)=120
只有1： P ( 5 , 4 ) × 5 = 600 P(5,4)\times 5=600 P(5,4)×5=600
只有2： P ( 5 , 4 ) × 5 = 600 P(5,4)\times 5=600 P(5,4)×5=600
同时有1、2：设剩下3位为XXX，有 P ( 5 , 3 ) ( 4 2 ) P ( 2 , 2 ) = 720 P(5,3)\binom{4}{2}P(2,2)=720 P(5,3)(24)P(2,2)=720(XXX有P(5,3)种,_X_X_X_的4个空位选2个有 ( 4 2 ) \binom{4}{2} (24)个，1和2排列有P(2,2)种)
总共有120+600+600+720=2040
6.
安排5个人去3个学校参观，每个学校至少1人，共有多少种安排方案？
原问题可以转化为：5个不同球放进3个不同盒子，不允许为空，有 3 ! S ( 5 , 3 ) 3!S(5,3) 3!S(5,3)种
S ( 5 , 3 ) = S ( 4 , 2 ) + 3 S ( 4 , 3 ) = 2 3 − 1 + 3 ( 4 2 ) = 7 + 3 × 6 = 25 S(5,3) \\=S(4,2)+3S(4,3) \\=2^{3}-1+3\binom{4}{2} \\=7+3\times 6=25 S(5,3)=S(4,2)+3S(4,3)=23−1+3(24)=7+3×6=25
3 ! S ( 5 , 3 ) = 150 3!S(5,3)=150 3!S(5,3)=150
8.
有7种小球，每个小球内有1~7个星星。一次活动中，主办方随机发放礼品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？
原问题可以转化为：把2个相同小球放到7个不同盒子里，允许空。共 ( 2 + 7 − 1 2 ) = 28 \binom{2+7-1}{2}=28 (22+7−1)=28种
也可以使用无穷集合的 r r r组合， n = 7 n=7 n=7种小球的 2 2 2组合为 ( 2 + 7 − 1 2 ) = 28 \binom{2+7-1}{2}=28 (22+7−1)=28
12.
设 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , . . . , n k ⋅ a k } S=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,...,n_k\cdot a_k\} S={
n1⋅a1,n2⋅a2,...,nk⋅ak},其中 n 1 = 1 n_1=1 n1=1， n 2 + n 3 + . . . + n k = n n_2+n_3+...+n_k=n n2+n3+...+nk=n，证明 S S S的圆排列个数等于 n ! n 2 ! n 3 ! . . . n k ! \frac{n!}{n_2!n_3!...n_k!} n2!n3!...nk!n!
∑ i = 1 k n i = n + 1 \sum_{i=1}^kn_i=n+1 i=1∑kni=n+1
多重集合全排列数
( n + 1 ) ! 1 ! n 2 ! n 3 ! . . . n k ! \frac{(n+1)!}{1!n_2!n_3!...n_k!} 1!n2!n3!...nk!(n+1)!
共 n + 1 n+1 n+1个元素， ( n + 1 ) (n+1) (n+1)个元素圆排列数为全排列数除以元素总数 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)
即：
( n + 1 ) ! 1 ! n 2 ! n 3 ! . . . n k ! / ( n + 1 ) = n ! n 2 ! n 3 ! . . . n k ! \frac{(n+1)!}{1!n_2!n_3!...n_k!}/(n+1)=\frac{n!}{n_2!n_3!...n_k!} 1!n2!n3!...nk!(n+1)!/(n+1)=n2!n3!...nk!n!
30
证明：周长为 2 n 2n 2n,边长为整数的三角形个数等于 n n n的3分拆数。
满足： x + y + z = n x+y+z=n x+y+z=n，则 2 ( x + y + z ) = 2 n 2(x+y+z)=2n 2(x+y+z)=2n，其中
( x + y ) + ( x + z ) = 2 x + y + z > y + z (x+y)+(x+z)=2x+y+z>y+z (x+y)+(x+z)=2x+y+z>y+z
( x + y ) + ( y + z ) = 2 y + x + z > x + z (x+y)+(y+z)=2y+x+z>x+z (x+y)+(y+z)=2y+x+z>x+z
( y + z ) + ( x + z ) = 2 z + x + y > x + y (y+z)+(x+z)=2z+x+y>x+y (y+z)+(x+z)=2z+x+y>x+y
( x + y ) , ( y + z ) , ( x + z ) (x+y),(y+z),(x+z) (x+y),(y+z),(x+z)可以组成三角形，周长为 2 n 2n 2n
设三角形周长为 2 n 2n 2n，边长分别为 a , b , c a,b,c a,b,c， a + b + c = 2 n , n = a + b + c 2 a+b+c=2n,n=\frac{a+b+c}{2} a+b+c=2n,n=2a+b+c
则 x = n − a , y = n − b , z = n − c x=n-a,y=n-b,z=n-c x=n−a,y=n−b,z=n−c， x + y = 2 n − a − b = c , y + z = 2 n − b − c = a , x + z = 2 n − b − c = a x+y=2n-a-b=c,y+z=2n-b-c=a,x+z=2n-b-c=a x+y=2n−a−b=c,y+z=2n−b−c=a,x+z=2n−b−c=a
则满足 x + y + z = n x+y+z=n x+y+z=n的 n n n的三拆分 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)能构造出周长为 2 n 2n 2n的三角形。周长为 2 n 2n 2n的三角形个数为 n n n的3拆分数
31
n n n个人出去野炊，其中 r r r个人围一圈，另外 n − r n-r n−r个人围一圈，共有多少种不同的方案？
选 r r r个人共 ( n r ) \binom{n}{r} (rn)种方案， r r r个人圆排列为 r ! r = ( r − 1 ) ! \frac{r!}{r}=(r-1)! rr!=(r−1)!, ( n − r ) (n-r) (n−r)个人圆排列 ( n − r ) ! n − r = ( n − r − 1 ) ! \frac{(n-r)!}{n-r}=(n-r-1)! n−r(n−r)!=(n−r−1)!，
共 ( n r ) ( r − 1 ) ! ( n − r − 1 ) ! = n ! ( n − r ) r \binom{n}{r}(r-1)!(n-r-1)!=\frac{n!}{(n-r)r} (rn)(r−1)!(n−r−1)!=(n−r)rn!种方案。
32
把 n n n个不同颜色的小球放入 r r r个不同形状的盒子，恰好有一个空盒的方法有多少种？恰好有 m ( m < n ) m(m<n) m(m<n)个空盒的放法有多少种？
恰好有一个空盒，每个盒子都有可能是空盒，共 r r r个盒子。对 r − 1 r-1 r−1个盒子，问题转化为： n n n个球放 r − 1 r-1 r−1个盒子，不允许空盒，共 ( r − 1 ) ! S ( n , r − 1 ) (r-1)!S(n,r-1) (r−1)!S(n,r−1)种。两者相乘，共 r ! S ( n , r − 1 ) r!S(n,r-1) r!S(n,r−1)种。
恰好有 m m m个空盒，从 r r r个盒子中选 m m m个空盒，共 ( r m ) \binom{r}{m} (mr)种。对 r − m r-m r−m个盒子，问题转化为： n n n个球放 r − m r-m r−m个盒子，不允许空盒，共 ( r − m ) ! S ( n , r − m ) (r-m)!S(n,r-m) (r−m)!S(n,r−m)种。两者相乘，共 ( r m ) ( r − m ) ! S ( n , r − m ) \binom{r}{m}(r-m)!S(n,r-m) (mr)(r−m)!S(n,r−m)种。
33
一凸十边形内任意三条对角线不共点（即不相交于同一点），这些对角线被它们的交点分成多少条线段？
对角线数 ( 10 2 ) − 10 = 35 \binom{10}{2}-10=35 (210)−10=35,交点数 ( 10 4 ) = 210 \binom{10}{4}=210 (410)=210。
设第 i i i条对角线上交点数 n i n_i ni，则线段有 n i + 1 n_i+1 ni+1条，
∑ i = 1 35 ( n i + 1 ) = ∑ i = 1 35 n i + 35 \sum_{i=1}^{35}(n_i+1)=\sum_{i=1}^{35}n_i+35 i=1∑35(ni+1)=i=1∑35ni+35
每个交点由2条对角线相交而成， ∑ i = 1 35 n i = 2 × 210 = 420 \sum_{i=1}^{35}n_i=2\times 210=420 ∑i=135ni=2×210=420
线段总数420+35=455