【组合数学/计算机数学】第五章 polya计数理论

1.

计算(123)(234)(5)(14)(23),并指出它的共轭类。
(123)置换可记为：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 4& 5\end{array}\right)$$
(234)(5)置换可记为：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 3& 4& 2& 5\end{array}\right)$$
(14)置换，同时(23)置换可记为：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{array}\right)$$
三者复合（从右往左复合）
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 3& 4& 2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 3& 2& 1& 5\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 3& 1& 5\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 1& 2& 5\end{array}\right) \\ =(13)(24)(5) \end{gathered}$$
只有1和3互换，2和4互换，为$1^1{2}^2$型置换
$1^1{2}^2$型置换共$\frac{5!}{2!1!1^1{2}^2}=15$
其共轭类为
(1)(23)(45),(1)(24)(35),(1)(25)(34)
(2)(13)(45),(2)(14)(35),(2)(15)(34)
(3)(12)(45),(3)(24)(15),(3)(25)(14)
(4)(23)(15),(4)(12)(35),(4)(25)(13)
(5)(23)(14),(5)(24)(13),(5)(12)(34)

2.

写出三角形、正方形、正八面体的置换群

三角形：
1.不旋转，${\sigma }_1=(1)(2)(3)$,$1^3$型置换1个。
2.旋转60°或120°，对应$\{(123),(132)\}$，$3^1$型置换2个。
3.以其中一个点为顶点，另外两个点对撑，对应$\{(1)(23),(2)(13),(3)(12)\}$，$1^1{2}^1$型置换3个。
三角形的置换群为
$G=\{(1)(2)(3),(123),(132),(1)(23),(2)(13),(3)(12)\}$

正方形：
1.不动置换。${\sigma }_1=(1)(2)(3)(4)$,$1^4$型置换1个。
2.旋转90°或270°，$\{(1234),(1432)\}$,$4^1$型置换2个。
3.旋转180°，$\{(13)(24)\}$,$2^2$型置换1个。
4.以对边中点为轴翻转，$\{(14)(23),(12)(34)\}$,$2^2$型置换2个。
5.以对角线为轴翻转。$\{(1)(3)(24),(2)(4)(13)\}$,$1^2{2}^1$型置换1个。
正方形的置换群为
$G=\{(1)(2)(3)(4),(1234),(1432),(13)(24),(14)(23),(12)(34),(1)(3)(24),(2)(4)(13)\}$

正八面体：
1.不动置换。${\sigma }_1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)$,$1^8$型置换1个。
2.绕对点中心旋转90°或270°。$\{(1)(6)(2345),(1)(6)(2543),(2)(4)(1365),(2)(4)(1563),(3)(5)(1246),(3)(5)(1462)\}$,$1^2{4}^1$型置换6个。
3.绕对点中心旋转180°。$\{(1)(6)(24)(35),(2)(4)(16)(35),(3)(5)(16)(24)\}$，$1^2{2}^2$型置换3个，
4.绕相对平面的中点旋转120°或240°$\{(125)(346),(152)(364),(145)(236),(154)(263),(123)(456),(132)(465),(134)(265),(143)(256)\}$$3^2$型置换8个。
5.绕对边中点旋转180°，$\{(23)(45)(16),(25)(34)(16),(15)(36)(24),(13)(56)(24),(12)(46)(35),(14)(26)(35)\}$,$2^3$型置换6个。
正八面体顶点的置换群为
$G=\{(1)(2)(3)(4)(5)(6),(1)(6)(2345),(1)(6)(2543),(2)(4)(1365),(2)(4)(1563),(3)(5)(1246),(3)(5)(1462),(1)(6)(24)(35),(2)(4)(16)(35),(3)(5)(16)(24),(125)(346),(152)(364),(145)(236),(154)(263),(123)(456),(132)(465),(134)(265),(143)(256),(23)(45)(16),(25)(34)(16),(15)(36)(24),(13)(56)(24),(12)(46)(35),(14)(26)(35)\}$

5.

有8个人计划去访问3个城市，其中有3个人是一家，另外有2个人是一家。如果一家人必须去同一个城市，问有多少种方案？写出它们的模式。
令 D = { d 1 , d 2 , . . . , d 8 } D=\{d_1,d_2,...,d_8\} D={ d1​,d2​,...,d8​},其中$d_1{d}_2{d}_3$为一家，$d_4{d}_5$为一家，$D$分划为 { d 1 , d 2 , d 3 } , { d 4 , d 5 } , { d 6 } , { d 7 } , { d 8 } \{d_1,d_2,d_3\},\{d_4,d_5\},\{d_6\},\{d_7\},\{d_8\} { d1​,d2​,d3​},{ d4​,d5​},{ d6​},{ d7​},{ d8​}
对$d_1{d}_2{d}_3$，取$a^3+b^3+c^3$,对$d_4{d}_5$，取$a^2+b^2+c^2$，对$d_6,d_7,d_8$，取$a+b+c$
总的模式表为$(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c{)}^3$
代入$a=b=c=1$,其值为总方案数$3\times 3\times 3^3=243$

6.

对正立方体6个面用红、蓝、绿3种颜色进行着色，有多少种不同的方案？又问3种颜色各出现2次的着色方案有多少种？
正方体的面的置换群有：
1.不动置换，$1^6$型，一个。
2.绕相对平面中点转90°或270°，$1^2{4}^1$型，6个。
3.绕相对平面中点转180°，$1^2{2}^2$型，3个。
4.绕相对两顶点的连线转120°或240°，$3^2$型，8个。
5.绕相对两边中点连线转180°，$2^3$型，6个。

该置换群轮换指标为
$P_G(x_1,x_2,...,x_6)=\frac{1}{24}(x_1^6+6x_1^2{x}_4+3x_1^2{x}_2^2+8x_3^2+6x_2^3)$
计算不同方案数，代入$x_1=x_2...=x_6=3$,
$l=P_G(3,3,3,3,3,3)=\frac{1}{24}(3^6+6\times 3^3+3\times 3^4+8\times 3^2+6\times 3^3)=57$
即有57种不同方案。
代入$x_1=r+g+b,...,x_i=r^i+g^i+b^i$
$$\frac{1}{24}((r+g+b{)}^6+6(r+g+b{)}^2(r^4+g^4+b^4)+3(r+g+b{)}^2(r^2+g^2+b^2{)}^2+8(r^3+b^3+g^3{)}^2+6(r^2+g^2+b^2{)}^3)$$
$r^2{g}^2{b}^2$项系数：$\frac{1}{24}(\frac{6!}{2!2!2!}+3\times 6+6\times \frac{3!}{1!1!1!})=6$

7.

有一个$3\times 3$的正方形棋盘，若用红蓝两色对这9个方格进行着色，要求两个为红色，其余为蓝色，问有多少种方案？

1	2	3
4	5	6
7	8	9

正方形棋盘的置换群有：
1.不动置换，$(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)$,$1^9$型置换1种。
2.旋转90°或270°，$(1379)(2684)(5),(1973)(2486)(5)$,$4^2{1}^1$型置换2种
3.旋转180°，$(19)(37)(28)(46)(5)$,$2^4{1}^1$型置换1种。
4.沿对边中点翻转，$(13)(46)(79)(2)(5)(8),(17)(28)(39)(4)(5)(6)$,$2^3{1}^3$型置换2种。
5.沿对角线翻转，$(24)(37)(68)(1)(5)(9),(19)(24)(68)(3)(5)(7)$,$2^3{1}^3$型置换2种。
可以设红色为$r$,蓝色为$b$,求$r^2{b}^7$系数。但因为只有两种颜色，可以简化为：红色为$x$,蓝色为$1$，求$x^2$系数。
$P(x,1)=\frac{1}{8}[(x+1{)}^9+2(x^4+1)(x+1)+(x^2+1{)}^4(x+1)+4(x^2+1{)}^3(x+1{)}^3]$
$x^2$系数为：
$$\begin{gathered} \frac{1}{8}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})+0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})+4(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right))] \\ =\frac{1}{8}(36+4+4(3\ast 1+3\ast 1))=8 \end{gathered}$$

12.

将两个相同的白球和两个相同的黑球放入两个不同的盒子里，问有多少种不同的方法？列出全部方案。每盒中有两个球的方法有多少种？
记白球为$w_1{w}_2$,红球为$r_1{r}_2$
则置换群为 G = { σ 1 , ( w 1 w 2 ) ( b 1 ) ( b 2 ) , ( b 1 b 2 ) ( w 1 ) ( w 2 ) , ( w 1 w 2 ) ( b 1 b 2 ) } G=\{\sigma_1,(w_1w_2)(b_1)(b_2),(b_1b_2)(w_1)(w_2),(w_1w_2)(b_1b_2)\} G={ σ1​,(w1​w2​)(b1​)(b2​),(b1​b2​)(w1​)(w2​),(w1​w2​)(b1​b2​)}
一个$1^4$型置换，2个$2^1{1}^2$型置换，1个$2^2$型置换。
其轮换指标为
$P_G(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{1}{4}(x_1^4+2x_2{x}_1^2+x_2^2)$
计数时，直接带入$x_1=x_2=x_3=x_4=2$，因为有2个盒子。
方案数为：$P_G=\frac{1}{4}(2^4+2\times 2\times 2^2+2^2)=9$

计算具体每个盒子有几个球的方案时，记盒子1为$a$,盒子2为$b$,代入$x_i=a^i+b^i$
$P_G(a+b,a^2+b^2,a^3+b^3,a^4+b^4)=a^4+2a^{3}b+3a^2{b}^2+2a{b}^3+b^4$
$a^2{b}^2$项系数为每个盒中有2个球的方案数。

12.魔改

把4个球a,a,a,b放入3个不同的盒子里，求分配方案数。若不允许有空盒，问有多少种方案？
令 D = { a 1 , a 2 , a 3 , b } , R = { c 1 , c 2 , c 3 } D=\{a_1,a_2,a_3,b\},R=\{c_1,c_2,c_3\} D={ a1​,a2​,a3​,b},R={ c1​,c2​,c3​}，即把4个球放入3个不同的盒子的方法为：$F:D\to R$,由于$a_1,a_2,a_3$是相同的球，由此确定出$D$上的置换群
G = { σ 1 , ( a 1 a 2 ) , ( a 1 a 3 ) , ( a 2 a 3 ) , ( a 1 a 2 a 3 ) , ( a 1 a 3 a 2 ) } G=\{\sigma_1,(a_1a_2),(a_1a_3),(a_2a_3),(a_1a_2a_3),(a_1a_3a_2)\} G={ σ1​,(a1​a2​),(a1​a3​),(a2​a3​),(a1​a2​a3​),(a1​a3​a2​)}
$1^4$型置换1个，$1^2{2}^1$型置换1个，$3^1{1}^1$型置换2个。
其轮换指标为$P_G(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\frac{1}{6}(x_1^4+3x_1^2{x}_2+2x_1{x}_3)$
代入$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=3$，
$l=P_G(3,3,3,3,3,3)=\frac{1}{6}(3^4+3\times 3^3+2\times 3^2)=30$
分配方案数为30。

若不允许空盒：
代入$x_i=c_1^i+c_2^i+c_3^i$
$$\begin{gathered} P_G(c_1+c_2+c_3,c_1^2+c_2^2+c_3^2,c_1^3+c_2^3+c_3^3,c_1^4+c_2^4+c_3^4,c_1^5+c_2^5+c_3^5,c_1^6+c_2^6+c_3^6) \\ =\frac{1}{6}((c_1+c_2+c_3{)}^4+3(c_1+c_2+c_3{)}^2(c_1^2+c_2^2+c_3^2)+2(c_1+c_2+c_3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)) \end{gathered}$$
不允许空盒的方案数为$c_1^2{c}_2{c}_3,c_1{c}_2^2{c}_3,c_1{c}_2{c}_3^2$三项的系数和。
为$\frac{1}{6}\times (3\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})+3\times 3\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}))=9$
不允许空盒的方案有9种。