组合基础1 组合数 二项式定理 卡特兰数 生成函数基础

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组合数

$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
可用Lucas定理和扩展Lucas计算。同时也是一个 $m$次多项式，可用多项式算法计算。

插板数

将 $n$个无区别的人分为 $m$个无区别的可空组有 $\binom{n+m-1}{n}$种方法。

二项式定理

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$
考虑两种方向。

卡特兰数

$Cat_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$
$Cat_n=\sum_{i=0}^{n-1}Cat_i\cdot Cat_{n-1-i}$
前几项为 $1$， $2$， $5$， $14$， $42$，可用于打表。

由第二个式子可用生成函数的方法推得第一式，但我不会。

卡特兰数等于在非负坐标方格图上从 $(0,0)$走到 $(n,n)$而不跨越直线 $y=x$的方案数，由此可得上式的一种证明方法。答案是总方案数 $\binom{2n}{n}$减去不合法的方案数，考虑折线第一次穿越 $y=x$的时候，将这之前（含）的折线沿 $y=x$翻转，再将之后的接到上面，发现终点变为了 $(n+1,n-1)$。于是不合法的方案数就是从 $(0,0)$到 $(n+1,n-1)$且限制第一步往右走的方案数，即 $\binom{2n}{n-1}$。

*from http://lanqi.org/skills/10939/

卡特兰数还等于合法括号序列数、合法出栈序列数、二叉树数、多边形三角剖分数等。

生成函数

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