组合法破解二项式系数问题

前言

引例1

乘积$(a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3)(c_1+c_2+c_3+c_4)(d_1+d_2+d_3+d_4)$的展开式中共有不同的项的个数为_____个。

分析：使用分步乘法计数原理，$N=C_2^1\cdot C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_4^1=96 $个。

引例2 $(x^2-x+2)^5$的展开式中，$x^3$的系数是多少？

法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。$(x^2-x+2)^5=[(x^2-x)+2]^5=[(x^2+2)-x]^5$，留作练习。

法2：组合法，推荐方法，希望掌握；

由于$(x^2-x+2)^5=(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)$，

按照多项式乘法法则可知，每次只能从每一个因式中取出一项，每一个因式中都必须取出某项，然后乘在一起，构成展开式中的某一项；这样我们可以按照这样的操作思路来构成含有$x^3$的项：

其一：先从5个相同因式中任意选取一个有$C_5^1$种，在取出的这个因式中只选取项$x^2$；

然后再从剩余的4个相同因式中任意选取一个有$C_4^1$种，在取出的这个因式中只选取项$-x$；

最后将剩余的3个相同因式全部选取有$C_3^3$种，在取出的每个因式中只选取项$2$；

故有$C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3 2\cdot 2\cdot 2=-C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^3\cdot 2^3x^3$；

其二：先从5个相同因式中任意选取一个有$C_5^3$种，在取出的这个因式中只选取项$-x$；

然后再从剩余的2个相同因式中任意选取一个有$C_2^2$种，在取出的这个因式中只选取项$2$；

故有$C_5^3\cdot (-x) \cdot C_2^2\cdot 2\cdot 2=-C_5^3\cdot C_2^2\cdot 2^2\cdot x^3$；

故$x^3$的项的组成是$C_5^1\cdot x^2 \cdot C_4^1\cdot(-x)\cdot C_3^3 2^3+C_5^3\cdot(-x)^3\cdot C_2^2\cdot 2^2=-200$

例5 【2017高考全国卷丙】$(x+y)(2x-y)^5$的展开式中$x^3y^3$的系数为【】

$A.-80$ $B.-40$ $C.40$ $D.80$

法1：通项公式法，由$(2x-y)^5$展开式的通项公式：$T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x)^{5-r}\cdot (-y)^r$可得：

当$r=3$时，$x(2x-y)^5$展开式中$x^3y^3$的系数为$C_5^3\times 2^2\times (-1)^3=-40$；

当$r=2$时，$x(2x-y)^5$展开式中$x^3y^3$的系数为$C_5^2\times 2^3\times (-1)^2=-40$；

则$x^3y^3$的系数为$80-40=40$，故选$C$。

法2：排列组合法，构成$x^3y^3$的有两个来源：

其一，$C_1^1\cdot x\cdot C_5^2\cdot (2x)^2\cdot C_3^3\cdot (-y)^3=-40x^3y^3$；

其二，$C_1^1\cdot y\cdot C_5^3\cdot (2x)^3\cdot C_2^2\cdot (-y)^2=80x^3y^3$；

则$x^3y^3$的系数为$80-40=40$，故选$C$。