【组合数学/计算机数学】 作业 第三章 递推关系

1

在平面上画$n$条无限直线，每条直线都在不同的点相交，它们构成的无限区域数记为$f(n)$，求$f(n)$满足的递推关系。
$f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6$
$$\{\begin{array}{l}f(n)=f(n-1)+2\\ f(1)=2\end{array}$$
特征方程为：$x_1-1=0$，即$x_1=1$，1是$P(x)=0$的一重根。
特解为：$an{1}^n=an$。代入递推关系：$an=a(n-1)+2$得$a=2$。
通解为：$c_1+c_2\times 1^n$，即$f(n)=c_1+c_2+2n$，因为$f(1)=2$，所以$c_1=c_2=0$。
递推关系为：$f(n)=2n$

2

$n$位三进制数中，没有1出现在任何2右边的序列的数目记为$f(n)$，求$f(n)$的递推关系

记$f(n-1)$为$n-1$位三进制数中满足条件的序列。在最左位置引入新数时：基于$n-1$位的符合条件的序列，可以额外引入0和1，不影响后续序列，有$2f(n-1)$种情况。若左边强行引入2，则后面只能有0和2可选，有$2^{n-1}$种情况。记：$f(n)=2f(n-1)+2^{n-1}$

初值：$f(1)=3,f(2)=8$。

用高中生方法把递推式齐次化：
$$\begin{gathered} f(n)=2f(n-1)+2^{n-1} \\ 2f(n)=4f(n-1)+2^n \\ 2f(n-1)=4f(n-2)+2^{n-1} \end{gathered}$$
1式-3式并整理：
$$f(n)-4f(n-1)+4f(n-2)=0$$
特征方程：
$$x^2-4x+4=0$$
得到2重根：$x_1=x_2=2$
则$f(n)=(b_1+b_{2}n)2^n$
将$f(1)=3,f(2)=8$代入，解得$b_1=1,b_2=0.5$

即：$f(n)=(1+n/2)2^n$

3

$n$位四进制数中，2和3出现偶数次的序列数目记为$f(n)$，求$f(n)$满足的递推关系。
记满足条件的数为$f(n)$
则对满足条件的$f(n-1)$，新引入一位0或1，有$2f(n-1)$种。
记$g(n)$为有偶数个2奇数个3的序列。因为对称性，$g(n)$也可以表示有奇数个2偶数个3的序列。
记$h(n)$为有偶数个2的序列数量。
在$n-1$位四进制数中，有偶数个2的序列添一位非2的数，共$3h(n-1)$个序列。
在$n-1$位四进制数中，有奇数个2的序列添一位2，有$4^{n-1}-h(n-1)$个序列。
$h(n)=3h(n-1)+4^{n-1}-h(n-1)=4^{n-1}+2h(n-1)$，$h(1)=3$
有偶数个2的序列数量减去有偶数个2、奇数个3的序列，得：
$f(n)=h(n)-g(n)$
有偶数个长度为$(n-1)$的序列末位引入0/1，有$2f(n-1)$种。2和3数量一个为奇、一个为偶，有$2g(n-1)$种
$f(n)=2f(n-1)+2g(n-1)$

求解$h(n)=2h(n-1)+4^{n-1}$：特征方程$x-2=0$，$x=2$为一重根。
这是一个非齐次线性方程。
特解为：$b_0\cdot 4^n$。将其代入$h(n)=2h(n-1)+4^{n-1}$，得$b_0\cdot 4^n=2b_0\cdot 4^{n-1}+4^{n-1}$，解得$b_0=\frac{1}{2}$
齐次递推关系通解为$c_1\cdot 2^n$
$h(n)=c_1\cdot 2^n+\frac{1}{2}\cdot 4^n$，代入初值$h(1)=3$，解得$c_1=\frac{1}{2}$
即：$h(n)=\frac{1}{2}\cdot 2^n+\frac{1}{2}\cdot 4^n$

将$h(n)$代入
$$\{\begin{array}{l}f(n)=h(n)-g(n)\\ f(n)=2f(n-1)+2g(n-1)\end{array}$$
用高中生方法：
$f(n-1)=h(n-1)-g(n-1)$，$2f(n-1)=2h(n-1)-2g(n-1)$
$f(n)=2h(n-1)-2g(n-1)+2g(n-1)=2h(n-1)=2^{n-1}+4^{n-1}$

即：$f(n)=2^{n-1}+4^{n-1}$

4

求满足相邻位不同为0的$n$位二进制序列的个数$f(n)$
最后一位为1，倒数第二位任意，有$f(n-1)$种。
最后一位为0，倒数第二位只为1，倒数第三位任意，有$f(n-2)$种。
初值：$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=8$
$$\{\begin{array}{l}f(n)=f(n-1)+f(n-2)\\ f(1)=2,f(2)=3\end{array}$$
这是一个常系数线性齐次递推关系，特征方程为$x^2-x-1=0$，特征根为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,通解为$f(n)=c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$
根据$f(1)=2,f(2)=3$,反推$f(0)=1$,将$0,1$代入$f(n)$
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2=1\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}{c}_1+\frac{1-\sqrt{5}}{2}{c}_2=2\end{array}$$
解得：$c_1=\frac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}},c_2=\frac{\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}}$

$f(n)=\frac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n+\frac{\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$

这个序列类似于斐波那契数列（递推式和斐波那契数列完全一致，初值不一样）看起来很多$\sqrt{5}$，但其实是能化出整数的。

8

在信道上传输a,b,c 3个字母组成的长为$n$的字符串，若字符串中有两个$a$连续出现，则信道就不能传输。令$f(n)$表示信道可以传输长为$n$的字符串个数，求$f(n)$满足的递推关系。

$f(1)=3$,$f(2)$可为ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc,$f(2)=8$
令$f(n)$为长为$n$的字符串个数。当最左字符为$b$或$c$时，剩余字符任意。共$2f(n-1)$种。当最左字符为a时，第2位字符为b或c，剩余字符任意。共$2f(n-2)$种。记：$f(n)=2f(n-1)+2f(n-2)$
这是一个常系数齐次递推关系，特征方程为$x^2-2x-2=0$,特征根为$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
根据$f(1)$和$f(2)$反推得$f(0)=1$
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2=1\\ (1+\sqrt{3})c_1+(1-\sqrt{3})c_2=3\end{array}$$
解得$c_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3},c_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$f(n)=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\sqrt{3}{)}^n+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})(1-\sqrt{3}{)}^n$

9(1)

见8

9(2)

$$\{\begin{array}{l}f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)\\ f(0)=1,f(1)=3\end{array}$$

特征方程$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，有2重根$x=2$
$f(n)=(b_1+b_{2}n)2^n$
代入
$$\{\begin{array}{l}1=(b_1)2^0\\ 3=(b_1+b_2)2^1\end{array}$$
解得$b_1=1,b_2=\frac{1}{2}$
即：$f(n)=(1+\frac{1}{2}n)2^n$

9(3)

$$\{\begin{array}{l}f(n)=-f(n-1)+3f(n-2)+5f(n-3)+2f(n-4)\\ f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2\end{array}$$

特征方程$x^4+x^3-3x^2-5x-2=0$,解得$x_1=x_2=x_3=-1,x_4=2$
其中，$-1$是3重根，$2$是1重根。
$f(n)=c_1(-1{)}^n+c_2(-1{)}^{n}n+c_3(-1{)}^n{n}^2+c_4{2}^n$
代入初值$f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2$
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_4=1\\ -c_1-c_2-c_3+2c_4=0\\ c_1+2c_2+4c_3+4c_4=1\\ -c_1-3c_2-9c_3+8c_4=2\end{array}$$
解得$c_1=\frac{7}{9},c_2=-\frac{1}{3},c_3=0,c_4=\frac{2}{9}$

$f(n)=\frac{7}{9}(-1{)}^n-\frac{1}{3}(-1{)}^{n}n+\frac{2}{9}{2}^n$

9(4)

$$\{\begin{array}{l}f(n)-4f(n-1)+4f(n-2)=n\cdot 2^n\\ f(0)=0,f(1)=1\end{array}$$

齐次特征方程$x^2-4x+4=0$,$x=2$为特征方程的2重根。

则非齐次特解为$n^2(b_{1}n+b_0)2^n$。将1,0,-1,-2代入特解：

$f(1)=2(b_1+b_0),f(0)=0,f(-1)=\frac{-b_1+b_0}{2},f(-2)=(-2b_1+b_0)$

将0和1代入原方程：
$$\{\begin{array}{l}0-4\times \frac{-b_1+b_0}{2}+4(-2b_1+b_0)=0\\ 2(b_1+b_0)-0+4\frac{-b_1+b_0}{2}=2\end{array}$$
解得$b_0=\frac{1}{2},b_1=\frac{1}{6}$,则非齐次特解为$n^2(\frac{1}{6}n+\frac{1}{2})2^n$
齐次方程通解为：$(c_{1}n+c_0)2^n$。
将通解与特解相加得：$f(n)=(c_{1}n+c_0)2^n+n^2(\frac{1}{6}n+\frac{1}{2})2^n$

将通解代入原方程：
$$\{\begin{array}{l}{c}_0{2}^0+0=0\\ (c_1+c_0)\times 2^1+1(\frac{1}{6}+\frac{1}{2})\times 2=1\end{array}$$
解得$c_0=0,c_1=-\frac{1}{6}$

$f(n)=(c_{1}n+c_0)2^n+n^2(\frac{1}{6}n+\frac{1}{2})2^n$

9(5)

$$\{\begin{array}{l}f(n)=nf(n-1)+n!(n\ge 1)\\ f(0)=2\end{array}$$

用迭代法（从头到尾都是高中生方法）。

两边同时除$n!$
$$\frac{f(n)}{n!}=\frac{f(n-1)}{(n-1)!}+1$$
设$g(n)=\frac{f(n)}{n!}$

$g(n)=g(n-1)+1$，$g(0)=2$，则$g(n)=n+2$，则$\frac{f(n)}{n!}=n+2$，

$f(n)=(n+2)n!$

9(6)

$$\{\begin{array}{l}f(n)=(n+2)f(n-1)(n\ge 1)\\ f(0)=1\end{array}$$

用迭代法（从头到尾都是高中生方法）。
$$\begin{gathered} f(n)=(n+2)f(n-1)=(n+2)(n+1)f(n-2) \\ =... \\ =(n+2)(n+1)...(n+i)f(n+i-3) \\ =(n+2)(n+1)...(3)f(0) \\ =(n+2)!/2 \end{gathered}$$

11

设有$n$条椭圆曲线，两两相交于两点，任意 3 条椭圆曲线不相交于一点.问这样的$n$个椭圆将平面分割成多少部分?
记$n-1$个椭圆将平面分割成$f(n-1)$个部分，则新的椭圆会穿过原有的$n-1$个椭圆，引入$2(n-1)$个新的平面区域。
$$\begin{gathered} f(n)=f(n-1)+2(n-1) \\ f(1)=2,f(2)=4 \end{gathered}$$

求解：利用高中生方法

$$\begin{gathered} f(n)=f(n-1)+2(n-1) \\ =f(n-2)+2(n-2)+2(n-1) \\ =f(n-i)+2(n-i)...2(n-1) \\ =f(1)+2+4+...2(n-1) \\ =2+2\frac{(1+n-1)(n-1)}{2} \\ =2+n(n-1) \end{gathered}$$

12

求$n$位十进制正整数中出现偶数个5的数的个数
$f(1)=8,f(2)=81$,记$f(n)$为$n$位十进制数中出现偶数5的个数。
$9\times f(n-1)$表示$f(n-1)$出现偶数个5，但新引入最低位不为5。
$9\times 10^{n-2}-f(n-1)$表示前$n-1$位出现了奇数个5，在最低位引入5。$9\times 10^{n-2}$表示：对于一个$n-1$位的数，中间的$n-2$位是任选的（0到9,共10种选取方法），但最高位不能为0（1到9，共9种选取方法）。所以，$9\times 10^{n-2}-f(n-1)$表示$n-1$位数的总数减去有偶数个5的数的个数，剩下了奇数个5的个数。

$f(n)=9\times f(n-1)+9\times 10^{n-2}-f(n-1)=9\times 10^{n-2}+8f(n-1)$

用高中方法，
$f(n+1)=9\times 10^{n-1}+8f(n)$
$10f(n)=9\times 10^{n-1}+80f(n-1)$

得：$f(n)=18f(n-1)-80f(n-2)$
特征方程：$x^2-18x+80=0$，解得$x_1=10,x_2=8$
则$f(n)=c_1\times 10^n+c_2\times 8^n$

初值：因为0是0位数，所以1位数有1/2/3/4/6/7/8/9共8种，$f(1)=8$；在2位数中，$\overline{1x}$/$\overline{2x}$/$\overline{3x}$/$\overline{4x}$/$\overline{6x}$/$\overline{7x}$/$\overline{8x}$/$\overline{9x}$有$8\times 9=72$个,还有一个55，共73个出现了偶数个5的数。$f(2)=73$
$$\{\begin{array}{l}10c_1+8c_2=8\\ 100c_1+64c_2=73\end{array}$$
解得$c_1=\frac{9}{20},c_2=\frac{7}{16}$

则$f(n)=\frac{9}{20}\times 10^n+\frac{7}{16}\times 8^n$