主定理（Master Theorem）

使用主定理求解递归式

处理一个规模为$n$的问题。通过分治，得到$a$ 个规模为$\frac{n}{b}$的子问题，分解子问题和合并子问题的时间是$f(n)$。那么，该问题的时间复杂度可表示为下面的式子：$$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$$
其中，$a>1$，$b>1$（如果$b=1$，递推无意义）。主定理即可用来求解上述式子。
对上述式子进行讨论：

• 若存在实数$ϵ（ϵ>0）$，使得$f(n)=O\left(n^{{\log }_{b}a}\right)$，则$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$。
• 若$f(n)=\Theta (n)$，则$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a}\log n)$。
• 若存在实数$ϵ（ϵ>0）$，使得$f(n)=\Omega (n^{{\log }_{b}a+ϵ})$，且存在实数c$（c<1）$使得较大的$n$满足$af(\frac{n}{b})\le cf(n)$，则$T(n)=\Theta (f(n))$。

简单来说，对于上述三种情况，我们将函数$f(n)$与$n^{{\log }_{b}a}$比较，较大者将决定该问题最终的时间复杂度。

• 若函数$n^{{\log }_{b}a}$更大，则$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$。
• 若函数$f(n)$更大，则$T(n)=\Theta (f(n))$。
• 若二者相等，则乘上一个对数因子，$T(n)=O(n^{{\log }_{b}a}\log n)$。

注意上述大小是渐进意义上的大小，并且，上面三种情况并未覆盖$f(n)$的所有可能性。情况1、情况2之间存在间隙，$f(n)$可能小于$n^{{\log }_{b}a}$但不是多项式意义上的小于；情况2、情况3之间也存在间隙，$f(n)$可能大于$n^{{\log }_{b}a}$但不是多项式意义上的大于；若函数$f(n)$在这两个间隙中，或者是情况3中要求的条件不成立，就不能使用主定理来求解目标问题的时间复杂度。

主定理的应用

示例1：$T(n)=T(n/2)+\Theta (1)$（二分查找）
分析，$a=1$，$b=2$，$\Theta (n^{{\log }_{2}1})=\Theta (1)=f(n)$，所以$T(n)=\Theta (logn)$。

示例2：$T(n)=2T(n/2)+\Theta (n)$（归并排序）
分析，$a=b=2$，$\Theta (n^{{\log }_{2}2})=\Theta (n)=f(n)$。所以$T(n)=\Theta (nlogn)$。