主定理（Master theorem）与Akra–Bazzi定理

一、主定理（Master theorem）

主定理是算法分析中的一个重要结论，它主要用于求解基于分治思想设计的递归算法的渐进复杂度。该结论最初由Jon Bentley, Dorothea Haken, 和James B. Saxe三位计算机科学家在1980年给出，其中Jon Bentley是计算机领域畅销书《编程珠玑》的作者，同时他还提出了K-D-Tree这个用于多维数据管理的数据结构。经典教材《算法导论》将该结论命名为主定理，并使其声名远播。

先来看简化版本的主定理：

考虑形如的递归式，

• 如果，那么；
• 如果，那么；
• 如果，那么。

注意在这个简化的版本中，加法右侧的部分必须是polynomial的。

如何应用主定理呢？来看几道例题。

例1：

套用上面的公式，其中a=1，b=3/2，并且d=0，即。因此，可得。

下面给出真正版本的主定理：

考虑形如的递归式，

• 如果存在，使得，那么；
• 如果，那么；
• 如果存在，使得，并且成立，其中是一个常数，是一个足够大的数，那么。

同样来看一道例题。

例2：

类似地，其中a=3，b=4，并且。比较和，易见只要，就有。属于第三种情况，因此。

二、Akra–Bazzi定理

尽管主定理十分强大，而且应用起来也很方便，但并非所有的递归关系都可以用它来求得最终的渐进表示的复杂度。一个更加泛化的结论是由两位黎巴嫩数学家Mohamad Akra 和 Louay Bazzi（二人也都是MIT的校友）在1998年给出的后来以他们名字命名的定理——Akra-Bazzi定理。该定理的形式化表述如下：

考虑形如的递归式，

如果：

• 对于所有的，和是常数，其中，；
• ，其中是一个常数；
• 对于所有的，；
• 是一个常数；

则有

其中，满足 。

如何应用Akra-Bazzi定理呢？来看几道例题。

例3：

首先来找到满足条件的，显然当使得成立的值为2。那么套用上述公式可得：

例4：，其中n是一个很大的数

显然，满足条件的p值等于0，于是有

例5：，其中n是一个很大的数

可以算得，满足条件的p值等于2，于是有

注意，p值未必一定需要是一个整数，例如也是完全可以的。

【本文完】