Goldbach–Euler theorem（Goldbach-Euler定理）

这篇文章是关于某个数学系列的。关于Fermat数的Goldbach定理，请参见费马数§基本属性。
在数学中，Goldbach-Euler定理（也称为Goldbach定理）指出，1 /（p-1）与完全幂p的集合之和（不包括1和省略重复）收敛于1：

$\sum _{{p}}^{{\infty }}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

Goldbach对Euler的原始证明包括为谐波系列分配一个常数： $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

这是分歧的。现代标准认为这种证据不严谨。在他的证明中使用的筛分功率的方法与用于推导出Riemann zeta函数的Euler乘积公式的分解方法之间有很强的相似性。

设x由下式给出

$x=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\cdots$

由于两个幂的倒数之和是 $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ , 从x给出减去2的幂的项

$x-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots$

使用三个权限的条款重复此过程： $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$

$x-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots$

现在所有的条款都没有上述总和，所有条款的权力都是2和3。继续删除功率为5,6的条款，依此类推，直到右侧耗尽为值1.最后，我们得到等式

$x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots =1$

我们重新安排进去

$x-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$

其中分母由所有正整数组成，即非幂数减一。通过从上面给出的x的定义中减去前面的等式，我们得到了

$1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots$

现在，分母现在只包括完美的权力减1。

虽然缺乏数学严谨性，但Goldbach的证明提供了一个相当直观的问题可视化。严格的证明需要对谐波系列的不同项进行适当和更仔细的处理。其他证据利用了这样一个事实，即1 / p的总和除了1但包括重复之外，通过证明等价来收敛于1：

$\sum _{{p}}^{{\infty }}{\frac {1}{p-1}}=\sum _{{m=2}}^{\infty }\sum _{{n=2}}^{\infty }{\frac {1}{m^{n}}}=1.$

Goldbach–Euler theorem（Goldbach-Euler定理）

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