cayley’s theorem 凯利定理

定理内容

过n个有标志顶点的树的数目等于 $n^{(n-2)}$。

定理证明

• 矩阵树定理
  参考博文1https://blog.csdn.net/wennitao222/article/details/89968272
  参考博文2https://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/10697176.html
  参考知乎1https://zhuanlan.zhihu.com/p/108209378
• …

例题

思路：
n 为奇数的时候答案直接是零，若 n 为偶数；
容易得出匹配好后的方案数 (n-1)*(n-3)*...*1 ，想想每个点配对一个后再对剩下的点做匹配操作；
匹配好之后将匹配好的两个点看成一个整体，共 d=n/2 个整体；
还需要对匹配图添加 d-1 条边使得其变成一个树，注意这里是在原来的点之间加边，而两个整体间有且恰有一个边，于是还需要乘的就 是 d 个顶点，带序号的不同的树的个数，再乘上 4^(d-1) 即可。

代码

#include <cstdio>
#define Ha 998244353
#define N 1000005

long long S[N],ans,tmp;

// 快速幂 x^k
long long ksm(long long x, long long k)
{
    
    
	if (k<=0) return 1;
	long long ret=1;
	for (; k; x=x*x%Ha,(k>>=1)) if (k&1)
		ret=ret*x%Ha;
	return ret;
}

void getS()
{
    
    
	long long tmp=1;
	S[0]=1;
	for (int i=2; i<N; i+=2)
		S[i]=S[i-2]*(i-1);
}

int main()
{
    
    	
	getS();
	int n;
	scanf("%d",&n);
	
	if (n%2)
	{
    
    
		puts("0");
		return 0;
	}
	
	ans=1;
	for (int i=n; i; i-=2)
		ans=ans*(i-1)%Ha;
	
	tmp=ksm(n/2,n/2-2);
	
	tmp=tmp*ksm(4,n/2-1)%Ha;
	ans=ans*tmp%Ha;
	
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}
``