【Master Theorem主定理】递归时间复杂度分析

主定理的内容

《算法导论》中提到了主定理，用来分析分治方法带来的
主定理是解决递归时间复杂度的一种直接方法，适合于以下类型的递推公式
$T(n) = aT(n/b) + O(n^d) （a >= 1 且 b > 1）$

其中 $n$为问题规模， $a$为递推的子问题数量， $n/b$为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）， $O(n^d)$为递推以外进行的计算工作量

那么问题的时间复杂度 $T(n)$为

• 如果 $a < b^d$，则 $T(n) = O(n^d)$
• 如果 $a = b^d$，则 $T(n) = O(n^dlogn)$
• 如果 $a > b^d$，则 $T(n) = O(n^{log_b^a})$

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说明：像 $T(n) = T(\sqrt{n}) + 1$这个公式就不符合上面的递归类型，不过它可以通过换元得到上面形式，这里不再赘述

具体应用

例：二分查找

$T(n) = T(n/2) + O(n^0)$ 假设每个子问题的规模基本一样

$a = 1, b = 2, d = 0,b^d = 1$ ，所以 $T(n) = O(logn)$

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例：归并排序

$T(n) = 2T(n/2) + O(n^1)$ 假设每个子问题的规模基本一样

$a = 2, b = 2, d = 1,b^d = 2$ ，所以 $T(n) = O(nlogn)$

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例：LeetCode 236. 二叉树的最近公共祖先
LeetCode 题解 | 236. 二叉树的最近公共祖先（经典递归 C++）

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == NULL)
            return NULL;
            
        // 可认为左右子树已经实现了函数的功能
        TreeNode* left =  lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        
        if(root == p || root == q) 
            return root;
        
        if(left == NULL)
            return right;
        if(right == NULL)
            return left;      
        if(left && right) // p和q在两侧
            return root;
        
        return NULL; // 必须有返回值
    }
};

$T(n) = 2T(n/2) + O(n^0)$ 假设每个子问题的规模基本一样，也就是说我们可以假设左右子树的结点数相同

$a = 2, b = 2, d = 0,b^d = 1$ ，所以 $T(n) = O(n)$

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例：LeetCode 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树

LeetCode 题解 | 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树（递归 C++）

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主定理证明

参考证明

• 主定理的证明方法
• Master—Theorem 主定理的证明和使用