海明码の编码と校验

海明码の编码过程

海明码不仅能检错，还具有一位纠错能力（告诉你第几位出错）。

比如说，10010 在传输过程中因为噪音影响，接收端收到的是 10000。如果采用海明码，校验码会告诉你：第 4 位错了。

编码过程如下：

1）确定校验码的位数

最终发送的数据 = 原始数据 + 检错码

其中，检错码以一定规律分别插到原始数据中（先不谈）。

不妨假设原始数据有 n 位，校验码有 k 位，则最终数据有 n + k 位。

不难知道，校验码一共有 $2^k$ 种取值方式（该值告知你第几位出错）。其中需要一种取值方式表示数据正确，由此剩下 $2^k - 1$ 种取值方式分别表示第几位数据出错。

如果要标识第几位出错，则校验码的取值数必须大于总的数据位数，这是理所当然的 (～￣▽￣)～

所以，有以下不等式： $2^k-1 ≥ n+k$

通过该不等式，我们可以通过知道原始数据的位数，从而确定要填充的校验码位数。

以 10010 为例，n = 5，解出（看出）k 最小为 4。

2）确定校验码的位置

上面说过，检错码是以一定规律分别插到原始数据中的。

这个规律就是逢 2 的整数幂，就插入校验位。
$2^0 = 1，2^1 = 2，2^2 = 4，...$
以 10010 为例，插入校验码后（用 ❤️ 表示校验位 ），

最终发送的数据为： ❤️ ❤️ 1 ❤️ 001 ❤️ 0

3）确定校验码的值

校验码的位置确定了，可填充的是 0 还是 1 呢？显然，这与校验位旁边的原始数据有关（这也正是海明码能够检错纠错的原因）。

校验码 $P_1P_2P_3...P_{k-1}P_k$ 的第 i 个校验位的二进制值 $P_i$ 的求法如下：

1）将所有数据位的序号用 k 位的二进制数表示；

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
对应的二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
信息位			$D_1$：1		$D_2$：0	$D_3$：0	$D_4$：1		$D_5$：0
校验位	$P_1$	$P_2$		$P_3$				$P_4$

2）将所有序号的二进制数的第 i 位为 1 的信息位进行异或。以 $P_1$ 为例（见下表标红的数位）

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
对应的二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
信息位			$D_1$：1		$D_2$：0	$D_3$：0	$D_4$：1		$D_5$：0
校验位	$P_1$	$P_2$		$P_3$				$P_8$

由此， $P_1$ = $D_1$ ⊕ $D_2$ ⊕ $D_4$ ⊕ $D_5$ = 0

同理， $P_2$ = $D_1$ ⊕ $D_3$ ⊕ $D_4$ = 0

$P_3$ = $D_2$ ⊕ $D_3$ ⊕ $D_4$ = 1

$P_4$ = $D_1$ ⊕ $D_2$ ⊕ $D_4$ ⊕ $D_5$ = 0

综上，❤️ ❤️ 1 ❤️ 001 ❤️ 0 = 00 1 1 001 0 0

海明码の校验

假设发送的是 10010，而接收端收到的是 10000。

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
对应的二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
数据位	0	0	1	1	0	0	1	0	0

变成了：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
对应的二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
数据位	0	0	1	1	0	0	0	0	0

假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：

将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据位（包括校验位）分别异或。

***1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

**1* = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

*1** = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

1*** = 0

如果某一组异或值为 1，说明该组中有数据位出错了。

***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为 0111（将 1110 倒置）。

解题技巧

对于串长为 8 的原始数据进行编码，海明码的 4 位校验码分别取以下位置的信息位进行异或即可，可大大提高解题速度。

$P_1$：【椅儿是武器】12457

$P_2$：【雨伞湿油漆】13467

$P_3$：【和尚死吧】2348

$P_4$：5678