今天做题遇到了海明码，网上相关知识很多，可惜大多都要把知识点看透才能明白海明码到底是什么，这里我整理自己的学习过程和理解。
海明码初步
首先海明码是一种校检码，数位中包括数据位和校检位，是奇偶校检码的升级。
假设读者对奇偶校检码很熟悉，它只能指出某组数据是否出错，但是无法确定出错的位置。海明码则通过多增加几个奇偶校检位，相互关联，进而找出出错的位置。当然以上分析都假定出错只会发生一次，也就是说一组数据最多只有一个地方出错。
“互相关联”是什么意思？这东西很神奇，继续往下看。
如果单纯看教材，书本上首先映入眼帘的是，已知原始数据为k位，求需要的海明校检码的位数r，直接给出公式k+r≤r^2-1。这太违背学习轨迹了。我们重头来。
原始数据k位，海明码r位，意味着一组数据是k+r位，重点：数据传输中出错，并不一定是数据位里的k位出错，校检位r位也有出错的可能性，为了能够找到出错的具体位置，我们首先罗列所有的情况
①数据没有出错。情况数 1
②数据出现1位错误。情况数 k+r
③有多位出现错误，不予考虑
可见一共有(k+r+1)种情况。
再考虑充当检校的r位，它们的0/1组合，一共可以组成r^2种情况(00…0~11…1，r个2相乘)。所以为了涵盖上述的出错情况，真正有意义的公式应该写成
k+r+1≤r^2
这里先放下不表。
其二，检校位的摆放位置
从本质上来说随便放哪里都可以，但是为了不同机器、软件的兼容，以及生成、检校算法实现的方便，采用如下方式插入检校码。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 检校1 | 检校2 | 数据1 | 检校3 | 数据2 | 数据3 | 数据4 | 检校4 | 数据5 | 数据6 | 数据7 | 数据8 | … |
表格第一排是原始数据和检校位合并后总数据位，从左到右升序，以1起头。第二排是检校位和(原始)数据位的摆放位置。
先找规律，开头两位都是检校位，第i个检校位，位于总位数(i-1)^2的位置处，如第4个检校位，位于总数位的8。
其他空格的地方是(原始)数据位。
可以理解成，检校位先固定了位置，(原始)数据再插入其中。
原来是数据位“插”检校位中，而不是一开始认为的检校位“插”数据位中，当然这只是一种理解方式。例如：
我需要传输1位数据，那就插到3号位，总数据位数为3，检校位数目2个。
我需要传输2位数据，那就插到3和5号位，总数据位数为5，检校位数目2个。
… …
我需要传输5位数据，那就插到3、5、6、7、9号位，总数据位数为9，检校位数目4个。
… …
其三，检校位的值的确认
每个检校位里面填0还是1的问题。继续看表
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 检校1 | 检校2 | 数据1 | 检校3 | 数据2 | 数据3 | 数据4 | 检校4 | 数据5 | 数据6 | 数据7 | 数据8 | … | |
| 检校1子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校2子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校3子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校4子序列 | O | O | O | O | … |
对于检校i位，它从自己开始，按照取i位数，跳i位数轮流的方式得到子序列，在子序列中，按照奇偶校验的方式确定自己的值。
例如下面的数据，原数据为101101，共5位，分别插入第3、5、6、7、9位中，组成一个9位的总数据。现在要确认检校位的取值，假设为奇校验法。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 检校1 | 检校2 | 数据1 | 检校3 | 数据2 | 数据3 | 数据4 | 检校4 | 数据5 |
| ？ | ？ | 1 | ? | 1 | 1 | 0 | ？ | 1 |
我们开始找每个检校位对应的子序列。
检校1，从自己开始，取1跳1。即?1101，按奇校验方式，检校1=0。
检校2，从自己开始，取2跳2。即?110，因此检校2=1。
检校3，从自己开始，取3跳3。即?11，因此检校3=1。
检校4，从自己开始，取4跳4。即?1，因此检校4=0。
所以整个数据为0111 1100 1
海明码检校方法
仔细看这张表。再结合上面以子序列确定对应检校位的数字分析。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 检校1 | 检校2 | 数据1 | 检校3 | 数据2 | 数据3 | 数据4 | 检校4 | 数据5 | 数据6 | 数据7 | 数据8 | … | |
| 检校1子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校2子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校3子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 检校4子序列 | O | O | O | O | … |
可以发现这样的规律——
当总数据位1号出错，“检校1”的奇偶校验能报告异常，例如上面的例子，传输数据“0111 1100 1”，接受为“1111 1100 1”时，校验1 的子序列此时为“11101”，奇校验异常(偶数个1)
其他具体分析略。结论：当总数位的i位出错时，表中对应有圈圈的检校位就会报错，而且这种报错方式是唯一的，例如当只有检校2和3报错时，那么一定是6号数据出错(也就是原始数据的第3位)
也就是说，这种报错和出错位置的是一一对应的，是不是对公式k+r+1≤r^2有了更深的理解呢？
海明码只能检测1位错误
大家先想想是不是这样的。
例如1、2号位同时出错，查表得，检校1和2会同时报错，这和单独3号位出错的报错方法一致。导致系统认为出错的是3号位，因此1改0，0改1。
再比如5、7号位同时出错，查表，这时检校1和3会报错，而检校2因为错了两次，错错得正，反而不报错。最后系统认为5号位出错。
还好一般多位出错的情况极其罕见。当然在通讯极其恶劣的场合，海明码也没得救。
（碎碎念：当时看书，觉得这东西真复杂，没想到弄懂了也挺有趣的）