灰色马尔科夫模型matlab实现

灰色预测GM(1,1)

• 对待预测序列 X 0 = { x 0 , 1 , x 0 , 2 , ⋯   , x 0 , n } X_0 = \{ x _ { 0 , 1 } , x _ { 0 , 2 } , \cdots , x _ { 0 , n } \} X0​={ x0,1​,x0,2​,⋯,x0,n​}，生成$X_0$的一次累加序列 X 1 = { x 1 , 1 , x 1 , 2 , ⋯   , x 1 , n } X_1 = \{ x _ { 1 , 1 } , x _ { 1 , 2 } , \cdots , x _ { 1 , n } \} X1​={ x1,1​,x1,2​,⋯,x1,n​},其中：
  $$x_{1,k}=\sum _{t=1}^k{x}_{0,i}(k=1,2,\cdots ,n)$$
• 对原始数据进行级比检验。先计算原始数据的级比${\rho }_k$序列：
  $${\rho }_k=\frac{x_{0,k-1}}{x_{0,k}}(k=2,\cdots ,n)$$
• 再判断${\rho }_k$ 是否均在可容性覆盖区间$\partial =(e^{-2/(n+1)},e^{2/(n+1)})$内。若是，则相应数据序列可以建立灰色$GM(1,1)$模型; 否则，应选取适当的常数 $b$对该组数据进行平移转换处理，使处理后的数据序列 $Y_0=y_{0,1},y_{0,2},\cdots ,y_{0,n}$ 的级比落入可容性覆盖区间内，其平移转换过程为:
  $$y_{0,k}=x_{0,k}+b$$
  通过一次累加序列 $X_1$，建立南四湖灰色$GM(1，1)$ 模型的一阶微分方程:
  $$\frac{d{X}_1}{dt}+\alpha X_1=q$$
  式中:$\alpha ,q$分别为发展系数和灰色作用量。
• 设$a=(\alpha ,q{)}^T$运用最小二乘法，求解：
  $$a=(\alpha ,q{)}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}D$$
  其中$$B=\left[\begin{array}{ll}-0.5(x_1+x_2)& 1\\ \cdots & \cdots \\ (-0.5x_{n-1}+x_n)& 1\end{array}\right]D=\left[\begin{array}{l}{x}_{0,2}\\ x_{0,0,2}\end{array}\right]$$
• 得到灰色 GM( 1，1) 模型:
  $${\hat{x}}_{1,k+1}=(x_{0,1}-\frac{q}{\alpha })e^{-ak}+\frac{q}{\alpha }$$
• 将累加值${\hat{x}}_{1,k+1}$经过一次累减还原成预测值${\hat{x}}_{0,k+1}$
  $${\hat{x}}_{0,k+1}={\hat{x}}_{1,k+1}-{\hat{x}}_{1,k}$$

模型检验

为了检验模型的可信度，需对预测值进行后验差检验。建立一阶残差序列:
E 0 = { e 0 , 1 , e 0 , 2 , ⋯   , e 0 , n } = { x ^ 0 , 2 − x ^ 0 , 2 , x ^ 0 , 3 − x ^ 0 , 3 , ⋯   , x ^ 0 , k − x ^ 0 , k , x ^ 0 , k } E _ { 0 } = \{ e _ { 0 , 1 } , e _ { 0 , 2 } , \cdots , e _ { 0 , n } \} =\\ \{ \hat{x}_ { 0 , 2 } - \hat{x}_ { 0 , 2 } , \hat{x}_ { 0 , 3 } - \hat{x}_ { 0 , 3 } , \cdots , \hat{x}_ { 0 , k } - \hat{x}_ { 0 , k } , \hat{x}_ { 0 , k } \} E0​={ e0,1​,e0,2​,⋯,e0,n​}={ x^0,2​−x^0,2​,x^0,3​−x^0,3​,⋯,x^0,k​−x^0,k​,x^0,k​}
原始数据序列的方差为 $s_1$，残差序列 $E_0$的方差为 $s_2$，分别计算后验比 $c$ 与小误差概率 $p$:
c = s 2 s 1 p = { 1 4 0 , k − A 0 ∣ < 0.6745 s 1 } c = \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } }\\ p = \{ 14 _ { 0 , k } - A _ { 0 } | \lt 0.6745 s _ { 1 } \} c=s1​s2​​p={ 140,k​−A0​∣<0.6745s1​}
其中$p$和$c$的大小共同决定模型精度等级。表给出了 4 级好、合格、基本合格和不合格的模型精度等级。模型$c$越小，$p$越大，则模型精度高。$c$越小，则$s_1$越大、$s_2$越小，即原始数据序列离散程度大，残差序列离散程度小，由模型所得预测值与原始数据相差小，$p$ 值越大则表明预测值较为均匀。若检验精度等级符合要求，则建立的灰色 $GM(1，1)$ 模型可直接预测数据; 若精度等级不符合，则对预测数据进行修正。

灰色马尔科夫预测模型

对$E_0$建立灰色$GM(1，1)$模型:
$${\hat{e}}_{1,k+1}=(e_{0,2}-\frac{q^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }})e^{-{\alpha }^{\prime t}}+\frac{q^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}(k=2,3,\cdots ,n)$$
将模型进行累减还原，得到残差修正值 ${\hat{e}}_{0,k+1}$:
$${\hat{e}}_{0,k+1}={\hat{e}}_{1,k+1}-{\hat{e}}_{1,k}$$
采用残差修正值 ${\hat{e}}_{0,k+1}$ 对传统GM( 1，1) 模型预测值进行修正，得到修正后的:
$${\hat{x}}_{0,k}^{\prime }={\hat{x}}_{0,k}+m_{0,k}{\hat{e}}_{0,k+1}$$
其中：
m 0 , k = { 1 ( x 0 , k − x 0 , k > 0 ) − 1 ( x 0 , k − x 0 , k < 0 ) m _ { 0 , k } = \{ \begin{array} { l l } { 1 } & { ( x _ { 0 , k } - x _ { 0 , k } \gt 0 ) } \\ { - 1 } & { ( x _ { 0 , k } - x _ { 0 , k } \lt 0 ) } \end{array} m0,k​={ 1−1​(x0,k​−x0,k​>0)(x0,k​−x0,k​<0)​
引入灰色马尔科夫模型判断 $m_{0,k}$ 的正负。适用于预测随机变化无规律的数据，弥补了传统 $GM(1，1)$ 模型对波动性和趋势性数据预测精度低的不足。其计算过程如下:

• 根据 $E_0$ 划分状态。本文划分两种状态，状态 1 表示残差为正，状态 2 表示残差为负。
• ． 求从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 经过的次数所占的概率 $p_{ij}$:
  $$p_{ij}=\frac{M_{ij}}{M_i}(i=1,2;j=1,2)$$
  式中:$M_{ij}$为状态$i$转移到状态$j$经过的次数;$M_i$为状态$i$出现的总次数。根据式得到状态转移矩阵$P$
  $$P=\left[\begin{array}{ll}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& p_{22}\end{array}\right]$$
• 选定残差序列最后一个值的状态作为初始状态向量 ${\mu }_0$。设 ${\mu }_0=({\mu }_{0,1},{\mu }_0,2)$，其中 ${\mu }_{0,1},{\mu }_{0,2}$分别代表处于状态 1 和状态 2 时的概率。即最后一个残差值若为正，${\mu }_0=(1，0)$ ; 若为负，${\mu }_0=(0，1)$ 。
• 根据${\mu }_t={\mu }_0{P}^t$求出经过$t$次状态转移后，第$t$次的状态概率。选取概率最大的状态作为最终结果，若两种状态概率相等，取前一次计算的结果:

仿真结果

matlab源码

https://mbd.pub/o/bread/YpWWkphs源码