隐式马尔科夫模型
设Q是所有可能的状态的集合, V是所有可能的观察的集合
\[ Q = \{ q_1,q_2,..,q_N\}, V = \{v_1,v_2,...,v_M\} \]
N是所有可能的状态数, M是所有可能的观测数\(I\) 是长度为\(T\)的状态序列, \(O\)是对应的观测序列
\[ I=\{i_1,i_2,...,i_T\},O=\{o_1,o_2,...,o_T\}, \]
状态转移矩阵A
\[ A=[a_{ij}]_{N \times N} \ \quad where \ a_{ij}=P(o_{t+1}=q_j|i_t=q_i), \ i=1,2,...N; j=1,2,...N \]
\(a_{ij}\)表示时刻t处于状态\(q_i\)的条件下在时刻t+1转移到状态\(q_j\)的概率观测概率矩阵B
\[ B=[b_j(k)]_{N \times M} \ \quad where \ b_j(k)=P(o_t=v_k|i_t=q_j), \ k=1,2,...M, j=1,2,...N \]
\(b_j(k)\)表示时刻t处于状态\(q_j\)的条件下生成观测\(v_k\)的概率初始状态概率向量\(\pi\)
\[ \pi=(\pi_i), \ \quad where \ \pi_i=P(i_1=q_i) \]
表示在初始时刻状态为\(q_i\)概率因此: 这三个概率组成了隐式马尔可夫模型的三要素\(\lambda=(A,B,\pi)\)
两个假设
- 齐次马尔可夫假设: 隐式马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖其前一时刻, 与其他时刻的状态和观测无关
- 观测独立假设: 任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态, 与其他时刻的状态和观测无关
注意理解:
- 同一状态可以有不同的观测结果
- 每个时间点对应的是一个状态序列和一个观测序列, 而不是单个状态和单个观测