线性代数研究有限维向量空间上的线性映射。

1.A R^n与C^n

复数(complex number):

一个复数是一个有序对(a,b)，其中 $a,b\in R$ ，一般写为 $a+bi$ ，其中 $i^2=-1$
所有复数构成的集合记为C： $C=\{a+bi:a,b\in R\}$
C上的加法和乘法定义为

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$

其中 $a,b,c,d\in R.$

复数的算数性质：

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交换性(commutativity)，对所有 $\alpha,\beta\in C$ 都有 $\alpha+\beta=\beta+\alpha,\alpha \beta=\beta\alpha$ ；
结合性(associaticity)，对所有 $\alpha,\beta\in C$ 都有 $(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda),(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)$ ；
单位元(identities)，对所有 $\lambda\in C$ 都有 $\lambda +0=\lambda,\lambda1=\lambda$
加法逆元(additive inverse)，对每个 $\alpha\in C$ 都存在唯一的 $\beta \in C$ 使得 $\alpha+\beta=0$ ；
乘法逆元(multiplicative inverse)，对每个 $\alpha\in C,\alpha \ne0$ 都存在唯一的 $\beta\in C$ 使得 $\alpha\beta=1$ ；
分配性质(distributive property)，对所有 $\lambda,\alpha,\beta \in C$ 都有 $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$

组(list)、长度(length)：

设n是非负整数。长度为n的组是n个有顺序的元素，这些元素用逗号隔开并且两端用括弧括起来(这些元素可以是数、其他组或者更抽象的东西)。长度为n的组具有如下形式：

$(x_1,...,x_n)$

两个组相等当且仅当它们长度相等、所含的元素相同并且元素的顺序也相同。

F：F表示R(实数集)或C(复数集)。选用字母F是因为R和C都是域(field)的例子。

F^n： $F^n$ 是F中元素组成的长度为n的组的集合，

$F^n=\{(x_1,...,x_n):x_j\in F,j=1,...,n\}$

对于 $(x_1,...,x_n)\in F^n$ 以及 $j\in \{1,...,n\}$ ，称 $x_j$ 是 $(x_1,...,x_n)$ 的第 $j$ 个坐标。

F^n中的加法(addition in $F^n$ )：

$F^n$ 中的加法定义为对应坐标相加，

$(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$

F^n的加法交换性：

若 $x,y\in F^n$ ，则 $x+y=y+x$ 。

0：用0表示长度为n且所有坐标都是0的组， $0=(0,...,0).$

F^n中的加法逆元(additive inverse in F^n)：

对于 $x\in F^n$ ，x的加法逆元(记作-x)就是满足下面条件的向量 $-x\in F^n$ ：

$x+(-x)=0.$

换言之，若 $x=(x_1,...,x_n)$ ，则 $-x=(-x_1,...,-x_n)$ .

F^n中的标量乘法(scalar multiplication in F^n)：

一个数λ与 $F^n$ 中的一个向量的乘积这样来计算，用λ乘以向量的每个坐标，即

$\lambda(x_1,...,x_n)=(\lambda x_1,...,\lambda x_n),$

其中 $\lambda \in F,(x_1,...,x_n)\in F^n.$

1.B 向量空间的定义

加法(addition)、标量乘法(scalar multiplication)：

集合V上的加法是一个函数，它把每一对 $u,v\in V$ 都对应到 $V$ 的一个元素 $u+v$ .
集合 $V$ 上的标量乘法是一个函数，它把任意 $\lambda\in F$ 和 $v\in V$ 都对应到一个元素 $\lambda v\in V$ .

向量空间(vector space)：

向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，满足如下性质

交换性(commutativity)，对所有 $u,v\in V$ 都有 $u+v=v+u$ ；
结合性(associativity)，对所有 $u,v,w\in V$ 和 $a,b\in F$ 都有 $(u+v)+w=u+(v+w)$ 和 $(ab)v=a(bv)$ ；
加法单位元(additive identity)，存在元素 $0\in V$ 使得对所有 $v\in V$ 都有 $v+0=v$ ；
加法逆元(additive inverse)，对每个 $v\in V$ 都存在 $w\in V$ 使得 $v+w=0$ ；
乘法单位元(multiplicative identity)，对所有 $v\in V$ 都有 $1v=v$ ；
分配性质(distributive properties)，对所有 $a,b\in F$ 和 $u,v\in V$ 都有 $a(u+v)=au+av$ 和 $(a+b)v=av+bv$ .

向量(vector)、点(point)：向量空间中的元素称为向量或点。

实向量空间(real vector space)、复向量空间(complex vector space)：

R上的向量空间称为实向量空间。
C上的向量空间称为复向量空间。

记号F^S：

设 $S$ 是一个集合，用 $F^S$ 表示S到 $F$ 的所有函数的集合。
对于 $f,g\in F^S$ ，规定和 $f+g\in F^S$ 是如下函数：对所有 $x\in S$ ，

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ .

对于 $\lambda\in F$ 和 $f\in F^S$ ，规定乘积 $\lambda f\in F^S$ 是如下函数：对所有 $x\in S$ ，

$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ .

加法单位元唯一：向量空间有唯一的加法单位元。

加法逆元唯一：向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元。

1.C 子空间

子空间(subspace)：如果V的子集U(采用与V相同的加法和标量乘法)也是向量空间，则称U是V的子空间。

子空间的条件：V的子集U是V的子空间当且仅当U满足以下三个条件：

加法单位元(additive identity)， $0\in U$ ；
加法封闭性(closed under addition)， $u,w\in U$ 蕴含 $u+w \in U$ ；
标量乘法封闭性(closed under scalar multiplication)， $a\in F$ 和 $u\in U$ 蕴含 $au\in U$ .

子集的和(sum of subsets)：

设 $U_1,...,U_m$ 都是 $V$ 的子集，则 $U_1,...,U_m$ 的和定义为 $U_1,...,U_m$ 中元素所有可能的和所构成的集合，记作 $U_1,...,U_m$ 。更确切地说，

$U_1,...,U_m=\{u_1+...+u_m:u_1\in U_1,...,u_m\in U_m\}$ .

子空间的和是包含这些子空间的最小子空间：设 $U_1,...,U_m$ 都是 $V$ 的子空间，则 $U_1,...,U_m$ 是 $V$ 的包含 $U_1,...,U_m$ 的最小子空间。

直和(direct sum)：

设 $U_1,...,U_m$ 都是 $V$ 的子空间，

如果和 $U_1+...+U_m$ 中的每个元素都可以唯一地表示成 $u_1+...+u_m$ ，其中每个 $u_j$ 属于 $U_j$ ，则和 $U_1+...+U_m$ 称为直和。
若和 $U_1+...+U_m$ 是直和，则用 $U_1\oplus...\oplus+U_m$ 来表示 $U_1+...+U_m$ ，这里符号 $\oplus$ 表明此处的和是一个直和。