线性代数复习（5）------向量空间（1）

向量空间

向量的基本运算

这里我们将向量的加法与数乘运算作为其基本运算。即（ $A+B=[....,a_i+b_i,....]与kA=[....,k*a_i,....]$）

向量空间条件

在同一向量空间中的向量需满足以下条件：

1. 可以进行基本运算（加法与数乘）
2. 向量之间可以进行线性组合
3. 含有零向量

维度划分

最直接的方式去描述向量控件就是通过其维度，也就是其向量中元素的个数。比如[1,2]就是二维空间 $R^2$中的向量,[1,2,3]就是三维空间 $R^3$中的向量，或者说所有的二维向量构成了 $R^2$，所有的三维向量构成了 $R^3$

向量空间的性质

这里与其条件对应

1. 向量之间的线性组合产生的向量仍在原有的向量空间中。
2. 向量的数乘与加法运算产生的向量也在原有的向量空间内。（所以零向量一定在，因为会有0与向量相乘，或者两个向量的元素互为相反数时相加）
3. 封闭性，对于以上两条性质所产生的所有向量必须包含在所给的向量空间之中。包括对任意实数的数乘运算。（先不考虑复数）

向量间的线性相关

如果我们用一组向量来描述一个向量空间，那么这个空间就是由向量的线性组合来构成的，但是当所取的向量组中存在某一向量可以由其余向量的线性组合表示，那么这样的向量对于向量空间的构成没有多大助力（因为其完全可以由其余的向量来代替）：
$a_n=k_1a_i+k_2a_j+.....+k_na_k$
其中 $a_i,a_j,a_k,a_n$均为向量组中的向量，k为系数，转换一下有：
$k_1a_1+k_2a_2+.....+k_na_n=0$
这里的系数k不全为0（全为0显然成立，没有意义）
当存在不全为0的k使上式成立时，则存在某一向量可以被其余向量代换的情况，定义为存在向量的线性相关。如果只有当k系数全为0时原式成立则线性无关。

极大线性无关组

这个定义的意思是描述一个向量组中有多少个线性无关的向量，由其组成的新的向量组可以描述整个向量组并且两者产生的向量空间等价。

向量组的秩

秩的数值与极大线性无关组中向量的个数相同，其描述的是向量组中用于形成向量空间的最小的向量个数是多少，对于特殊的全是零向量的向量组，其中不存在线性无关组，所以对应的秩为0。

子空间

首先其是相对与某个范围更大的空间而言，除此之外，它必须仍旧是一个向量空间，并且满足上面的要求。
比如一个二维向量所描述的一个空间，即通过数乘与其自身的加法运算后得到的一个过原点的直线，其就是二维空间 $R^2$的一个子空间。
子空间也包含原空间自身。

零空间

这个空间甚至不能说是一个空间，应该说是一个点（实际是零向量），但是对于任意的空间来说必须包含零空间。
任意空间的子空间划分都有一个“界限”，其上限就是其自身，其下限就是零空间。

空间描述

所有的空间都需由其内部的向量来进行表述，向量之间的线性组合与向量的数乘运算构成整个空间的全貌。

列空间

对于一个矩阵来说，我们将其每一列作为一个列向量来考虑，这些列向量通过相互的线性组合与自身的数乘运算，生成一个完整的列空间。（包括零空间）（线性组合就是数乘与向量加法的组合）
举例： $\begin{bmatrix}1&0\\-4&1\\1&0\\\end{bmatrix}$有两个列向量 $\begin{bmatrix}1\\-4\\1\\\end{bmatrix}$和 $\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}$，它们两个之间进行的线性组合也在这个空间中，首先数乘0，零空间一定是，两者相加 $\begin{bmatrix}1\\-3\\1\\\end{bmatrix}$也是等等，最终的空间就是过原点的一个平面了。
但是也有其他情况，比如刚才的矩阵是这样的 $\begin{bmatrix}1&2\\-1&-2\\2&4\\\end{bmatrix}$
显然两个列向量是相互平行的，所以其能描述的列向量就仅有一条过原点的直线那么大。