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题目描述
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,j 均为非负整数。游戏规则如下：
- 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
- 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
- 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×2i，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
- 游戏结束总得分为 mm 次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
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输入格式
输入文件包括 n+1 行：
第一行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。
第 2∼n+1 行为 n×m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。
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输出格式
输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。
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输入输出样例
输入 #1
2 3 1 2 3 3 4 2
输出 #1
82
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解析：
求n行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）
每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。
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C++源码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好
int n, m;
int ar[MAXN];
struct HP {
int p[505], len;
HP() {
memset(p, 0, sizeof p);
len = 0;
} //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量
void print() {
printf("%d", p[len]);
for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
if (p[i] == 0) {
printf("0000");
continue;
}
for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10)
printf("0");
printf("%d", p[i]);
}
} //四位压缩的输出
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;
HP operator + (const HP &a, const HP &b) {
HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;
for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
x = c.p[i] / Mod;
c.p[i] %= Mod;
}
if (x > 0)
c.p[++c.len] = x;
return c;
} //高精+高精
HP operator * (const HP &a, const int &b) {
HP c; c.len = a.len; int x = 0;
for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
c.p[i] = a.p[i] * b + x;
x = c.p[i] / Mod;
c.p[i] %= Mod;
}
while (x > 0)
c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;
return c;
} //高精*单精
HP max(const HP &a, const HP &b) {
if (a.len > b.len)
return a;
else if (a.len < b.len)
return b;
for (int i = a.len; i > 0; i--)
if (a.p[i] > b.p[i])
return a;
else if (a.p[i] < b.p[i])
return b;
return a;
} //比较取最大值
void BaseTwo() {
base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;
for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年...
base[i] = base[i - 1] * 2;
}
} //预处理出2的幂
int main(void) {
scanf("%d%d", &n, &m);
BaseTwo();
while (n--) {
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d", &ar[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]);
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);
} //用结构体重载运算符写起来比较自然
HP Max;
for (int i = 1; i <= m; i++)
Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);
ans = ans + Max; //记录到总答案中
}
ans.print(); //输出
return 0;
}-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Java源码：
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int [] mp = new int[100];
static BigInteger [] pow = new BigInteger[160];
@SuppressWarnings("resource")
public static void main(String[] args) {
pow[0] = BigInteger.ONE;
pow[1] = BigInteger.valueOf(2);
for(int i = 2; i < 160; i++) {
pow[i] = pow[1].pow(i);
}
Scanner cin = new Scanner(System.in);
BigInteger ans = BigInteger.ZERO;
int n=cin.nextInt(), m=cin.nextInt();
for(int t = 1; t <= n; t++) {
BigInteger [][] f = new BigInteger[100][100];
BigInteger max = BigInteger.ZERO;
for(int j = 1; j <= m; j++)
mp[j]=cin.nextInt();
for(int i = 0; i < 100; i++)
for(int j = 0; j < 100; j++)
f[i][j] = BigInteger.ZERO;
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = m; j > 0; j--) {
f[i][j] = f[i][j].max(f[i - 1][j].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i - 1]))));
f[i][j] = f[i][j].max(f[i][j + 1].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[j + 1]))));
}
for(int i = 1; i <= m; i++)
max = max.max(f[i][i].add(pow[m].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i]))));
ans = ans.add(max);
}
System.out.println(ans);
}
}-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Python源码：
matrix=[]
n,m=input().split()
n,m=int(n),int(m)
for i in range(n):
row=input().split()
row=[0]+[int(count)for count in row]+[0]
#print(row)
# 把列表塞到列表里形成二维列表
matrix.append(row)
a=[1]#a[0]=1初始化为1
#求到2^m
for i in range(m):
a.append(a[i]*2)
#print(a)
ans=0
for i in range(n):
row=matrix[i]
w=1
#分配一个大小为m+2 * m+2的二维数组
dp=[[0]*(m+2)]*(m+2)
#print(dp)
for st in range(1,m+1):
for ed in range(m,0,-1):
if ed<st:
continue
dp[st][ed]=max(dp[st-1][ed]+row[st-1]*a[m-ed+st-1],dp[st][ed+1]+row[ed+1]*a[m-ed+st-1])
ans+=max([dp[i][i]+row[i]*a[m]for i in range(1,m+1)])
print(ans)
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