(AcWing)多重背包问题 I,II

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100

0<vi,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

 朴素算法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N],w[N],s[N],f[N][N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

多重背包的二进制优化方法：

//本题考查多重背包的二进制优化方法
//将多重背包分成若干个01背包进行解题

/*二进制优化（下方举例说明）：
①假定物品件数s=200
②二进制形式k[n]={1,2,4,8,16,32,64,73}  其所有值相加是<=200  可以凑出[0~200]的所有数
③除开最后一个数不是二进制形式，73=200-(1+2+4+8+16+31+64)
④其余数，若定64，其中64+[0~63]->[0~127]
⑤最后一个数73，其中73+[0~127]->[0~200] */

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 12010,M = 2010;
int v[N],w[N],f[N];
int n,m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;// 输入第i种物品的体积a、价值b和数量s
        int k = 1;
        while(k<=s)
        {
            cnt++;// 更新物品编号
            v[cnt] = k*a;// 将当前数量的物品拆分成指数级别的多个子问题，更新体积
            w[cnt] = k*b;// 同样更新价值
            s-=k;// 减去已经处理过的数量
            k*=2; // 指数倍增加数量
        }
        if(s>0)// 处理剩余的数量
        {
            cnt++;
            v[cnt] = s*a;
            w[cnt] = s*b;
        }
    }
    
    n = cnt;
    
    /*for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<"v[i]: "<<v[i]<<endl;
        cout<<"w[i]: "<<w[i]<<endl;
        cout<<endl;
    }*/
    
    //变成若干个01背包问题
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    cout<<f[m]<<endl;
    
}