【ACWing】4. 多重背包问题 I

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/4/

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包。第$i$种物品最多有$s_i$件，每件体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

数据范围：
$0<N,V\le 100$
$0<v_i,w_i,s_i\le 100$

思路是动态规划。设$f[i][j]$是如果只取前$i$件物品，并且总重量不超过$j$的情况下能达到的最大价值。那么所有方案可以按照第$i$件物品取多少个来分类。显然最少可以取$0$个，最多可以取 min ⁡ { s i , j / v i } \min\{s_i,j/v_i\} min{ si​,j/vi​}个，所以有 f [ i ] [ j ] = max ⁡ k = 0 , 1 , . . . , min ⁡ { s i , j / v i } { f [ i − 1 ] [ j − k v i ] + k w i } f[i][j]=\max_{k=0,1,...,\min\{s_i,j/v_i\}}\{f[i-1][j-kv_i]+kw_i\} f[i][j]=k=0,1,...,min{ si​,j/vi​}max​{ f[i−1][j−kvi​]+kwi​}最后返回$f[N][V]$即可（此题还有一种二进制优化，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113840962）。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        	// 枚举第i件物品取多少个 
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(N{V}^2)$，空间$O(NV)$。