acwing 5.多重背包问题 II (二进制优化)

题面

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题解

多重背包优化 :朴素版多重背包是O(nms),看这道题的数据范围肯定会超时

不可以用完全背包的方式优化
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通过列出式子发现,最后会多出一项,而完全背包的个数是无限的,所以不会多出,f[i][j-v] 的最大值就无法更新f[i][j]

二进制优化: 先举个例子,对于第 i 件物品的选取,假设物品的数量有 30 件 ,在不超过背包容量的情况下,我们可以选取0,1,2 … 30 件,这样更新状态方程式的时间复杂度就是O(s) , 神奇的地方来了,我们可以用二进制将这30个数凑出来,20 ,21,22,23,最后还有一个15(24=16他们的和就会超出30,所以最后补一个15),这样就是 1,2 ,4,8,15 (将第i件物品分成这么多份打包,对应的体积和价值也应该乘上相应的值),0-30的数我们都可以凑出来,比如13=1+4+8 ,这样我们每次只需要考虑这个新的分组要不要选,没错,这样就完全转化成01背包问题了,时间复杂度变成了O(logs)

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 25000;

int n, m, cnt;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    
    

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int a, b, s;   //体积,价值,个数
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s) {
    
    
            cnt++;     //分组后的下标
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s > 0) {
    
    
            cnt++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }

    n = cnt;

    //转化为01背包问题
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
    
    
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

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转载自blog.csdn.net/qq_44791484/article/details/114655854
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