acwing 5.多重背包问题 II （二进制优化）

题面

题解

多重背包优化 ：朴素版多重背包是O(nms),看这道题的数据范围肯定会超时

不可以用完全背包的方式优化：

通过列出式子发现，最后会多出一项，而完全背包的个数是无限的，所以不会多出，f[i][j-v] 的最大值就无法更新f[i][j]

二进制优化： 先举个例子，对于第 i 件物品的选取，假设物品的数量有 30 件 ，在不超过背包容量的情况下，我们可以选取0，1，2 … 30 件，这样更新状态方程式的时间复杂度就是O(s) , 神奇的地方来了，我们可以用二进制将这30个数凑出来，2⁰ ,2¹,2²,2³,最后还有一个15（2⁴=16他们的和就会超出30，所以最后补一个15），这样就是 1，2 ，4，8，15 （将第i件物品分成这么多份打包,对应的体积和价值也应该乘上相应的值），0-30的数我们都可以凑出来，比如13=1+4+8 ，这样我们每次只需要考虑这个新的分组要不要选，没错，这样就完全转化成01背包问题了，时间复杂度变成了O(logs)

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 25000;

int n, m, cnt;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    
    

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int a, b, s;   //体积，价值，个数
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s) {
    
    
            cnt++;     //分组后的下标
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s > 0) {
    
    
            cnt++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }

    n = cnt;

    //转化为01背包问题
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
    
    
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}