一，质数
1，质数
质数又被叫做素数,首先我们看一下质数的定义，质数是指只能被1和自身整除的正整数。
换句话说，一个数如果除了1和本身之外不再有其他因数，那么这个数就是质数。例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。而4、6、8、9、10等数则不是质数。
判断质数常见问题
当这个小于等于1的数都不是质数
小于0的不是质数
2是质数
这些负半轴的值是最容易出现边界判断错误的。
2，质因数
质因数全部都是质数组成的，用分解的方法，把他分解成 n = 质数1 * 次数1 * 质数2 * 次数2 * …
小学的分解质因数，相当于…，看个图
二，是否为质数
is or not is prime 最关键的就是定义上所表示的，只有1和他本身能除以他Mod 0 ，上朴素
#include <iostream>
using namespace std ;
int n ;
bool is_prime ()
{
if( n <= 1) return false ;
for ( int i = 2 ; i < n ; i ++ )
if(n % i == 0)
return false ;
return true ;
}
int main ()
{
cin >> n ;
if(is_prime())
cout << "YES , is prime" ;
else
cout << "NO , is not prime" ;
cout << endl ;
return 0 ;
}
简化，首先这个算法肯定是一个 O（N） 的时间复杂度，我们知道因子总是成对出现的，最大的因子为 i * i = n ,我们只用遍历到这个值就可以了，
//仅仅修改上文第六行
for(int i = 2 ; i <= n / i ; i ++ )
首先来说这个 i的处理最好是 i <= n / i ，其他方法可能报错，不再细讲
三，分解质因数
两个点， 一个是整体的遍历从二，到也是最大也只能 n / i ，并且在递归的操作中减去出来的值，遍历**O（N）**是最大的时间复杂度
#include <iostream>
using namespace std ;
int n ;
void prime_son()
{
for(int i = 2 ; i <= n / i ; i ++ )
{
if(n % i == 0)
{
int ans = 0;
while ( n % i == 0)
{
n /= i ;
ans ++ ;
}
cout << i << " " << ans << endl ;
}
}
if(n != 1)
cout << n << " " << 1 << endl ;
return ;
}
int main ()
{
cin >> n ;
prime_son() ;
return 0 ;
}
四，搜索前n个数中有几个质数
我们知道在前n个数中来搜索质数，本质上只有一种方法，就是把已知的质数对前面进行赋值操作，最简单的操作是每次我们都赋值一次
#include <iostream>
using namespace std ;
const int N = 1e6 + 10;
bool st[N] ;
int get_prime(int n )
{
int ans = 0 ;
for( int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!st[i])
ans ++ ;
for(int j = i ; j <= n ; j += i )
st[j] = true ;
}
return ans ;
}
int main ()
{
int n ;
cin >> n ;
cout << get_prime(n) << endl ;
return 0 ;
}
但是我们也可以每次用他的质数的因子来完成这个操作
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#include <iostream>
using namespace std ;
int n ;
const int N = 1e6 + 10 ;
int prime[N] ;
int cnt = 0 ;
bool st[N] ;
int get_prime()
{
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!st[i])
prime[++ cnt] = i ;
for(int j = 1; prime[j] <= n / i ; j ++ )
{
st[prime[j] * i ] = true ;
if(i % prime[j] == 0 ) break ;
}
}
return cnt ;
}
int main ()
{
cin >> n ;
cout << get_prime() << endl ;
return 0 ;
}
这个时间复杂度为O(N) 所以被称为线性筛法，我们来讲解一下原理，首先每次我们先取质数操作 ，再对下面的质数集合对这个点进行赋值操作，然后到点弹出。