约数
互质：两个数公约数只有1
对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * … * pk^ak
求一个数的约数个数：
n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个
求一个数的所有约数的和：
n的正约数之和为(p1^0 + p1^1 + p1^2 + … + p1^a1) * (p2^0 + p2^1 + p2^2 + … + p2^a2) * … * (pk^0 + pk^1 + pk^2 + … + pk^ak)
// 分解约数
void divide(int n)
{
for (int i = 2; i <= n/i; i++)
{
int cnt = 0;
if (n % i == 0)
{
while (n % i == 0) n /= i, cnt++ ;
cout << i << " " << cnt << endl;
}
}
if (n > 1) cout << n << " 1" << endl;
}
欧拉筛
int primes[100010], cnt;
bool st[100010];
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
欧拉函数
欧拉函数φ(n)：小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数
公式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn) (容斥原理可证)
int phi(int x)
{
int ans = x;
for (int i = 2; i <= x/i; i++)
{
if (x % i == 0)
{
ans = ans - ans/i;
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) ans = ans - ans/x;
return ans;
}
// 求 1-n 的欧拉函数之和
int primes[100010], phis[100010] cnt;
bool st[100010];
void get_phis(int x)
{
phis[1] = 1;
for (int i = 2; i <= x; i++)
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++] = i;
phis[i] = i - 1; // 质数的欧拉函数为其本身减1
}
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
st[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
phis[i * primes[j]] = primes[j] * phis[i]; // 当primes[j]为i的约数时，由欧拉函数公式， p1...pk均不变，n增加primes[j]倍
break;
}
phis[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * phis[i]; // 当primes[j]为该项的最小质数时，i中不含primes[j]， 故在i的基础上多了(1-1/primes[j]), 而n增加primes[j]倍
}
}
}
快速幂
int qmi(int a, int k, int p)
{
int res = 1;
while(k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res % p;
}
逆元
定义：对于a*b≡1(mod m),那么称b是a的模m乘法逆元。
欧拉定理： 当a与n互质，则存在 a^φ(n) ≡ 1(mod n)
费马小定理： 特别的，当n为质数时, a^(n-1) ≡ 1(mod n)
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快速幂求乘法逆元
设逆元为x
t/a ≡ t * x (mod p) =>
t ≡ a * t * x (mod p) =>
a * x ≡ 1 (mod p)
当p均为质数， 由费马小定理 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
故x = a^(p-2) (mod p) => qmi(a, p-2, p);
*********/
欧几里得扩展
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x); // 若未将x, y交换顺序，则需写成:
y -= (a/b)*x; // int t = x;
// x = y, y = t - (a/b)*y;
return d;
}