初见安~本章讲一点儿数学知识最近讲的东西好像越来越基础了……
1.质数
质数——若一个正整数除了它自己和1没有别的因数了，则称这个数为质数（or素数），否则合数。
比如：3=1*3，3就是一个质数；8=1*8=2*4，8就是个合数。
在c++里我们要判断质数or筛选质数，可以运用到以下几种方法：
（1） 试除法
若一个正整数N为合数，则在2~N-1里必定可以找到N的因数M。而我们可以知道：N的合数成双出现，不成双则为√N，如9=3*3（这里算3为一个合数），所以N若为合数，则在2~√N里一定可以找到一个N的因数。因此我们可以直接用for循环除以N来验证N是否为质数。
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)//取余
{
cout<<"No"<<endl;
return 0;//找到了一个因数，则不必继续了
}
}
cout<<"Yes"<<endl;
return 0;
}（2）Eratosthenes算法
看起来是个很高大上的名字（我都不会读），其实也是很简单的——但这一算法比较适用于要打出2~N之内的质数or统计有多少个，也就是全局性的问题。同样基于我们对质数的定义——一个正整数，除了1和它本身没有别的因数。所以有别的因数的都不是质数。
例——输出1~N以内所有的质数。
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
bool v[110];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++)//2~n
{
if(v[i]) continue;//已经标记为合数了，继续循环不做操作
cout<<i<<" ";
for(int j=i;j<=n/i;j++)
{
v[i*j]=1;//找可以被i整除的n以内的数并标记
}
}
return 0;
}这一算法的时间复杂度为O（NloglogN），效率是十分高的，也十分常用。
（3）线性筛法
Eratosthenes算法就算优化也会重复标记合数，如12会被2和3重复标记，所以我们试试线性筛法。
这一筛法运用到了一个数学结论：任何一个合数都可以被分解为几个素数的乘积。如44=2*2*11等等。
考虑到上述的重复标记问题（加一个v的判断也可以，但为了更优化还是介绍一下）
【p.s】最小质因数，顾名思义就是某合数的一个最小的为质数的因数。
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int v[1100];//在i下标处放i的最小质因数
int prime[1100];//存放质数
int m=0;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i]==0)//不曾被标记上最小质因数，则i为质数。
{
v[i]=i;
//它本身作为一个因数，去筛将它作为最小质因数的数
prime[++m]=i;
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
//i有比prime[j]更小的质因数，也就是已被标记
v[i*prime[j]]=prime[j];//没有则继续标记
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cout<<prime[i]<<" ";
}
return 0;
}这一算法中每个合数只会被它的最小质因数标记一次，时间复杂度为O（N）。
（4）质因数分解
例题：输入一大于一的整数n，将n分解为几个质数的乘积。
由上文所提到的：每个合数都可以被分解为几个质数的乘积，同时任意一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积。所以我们可以尝试一下将试除法和Eratosthenes算法结合起来——扫描2~√N中的每个数d，若d能整除N，则存起来，并统计需要多少个d相乘。这里d天然保证了为质数，因为每个合数都可以分解为几个质数的乘积，在到这个合数之前n就应当已经被除尽了。
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
int p[1100];//从小到大存放有哪些因数
int c[1100];//存放第m个因数需要乘的次数
int m=0;//计数
int main()
{
cin>>n;
cout<<n;//格式而已，不用在意。毕竟操作过后n变了
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)//找到因数
{
p[++m]=i;
c[m]=0;
while(n%i==0)//可以分解i则继续分解
{
n/=i;
c[m]++;//统计次数
}
}
}
if(n>1)//最后n还是无法分解完，则为质数
{
p[++m]=n;c[m]=1;
}
cout<<"=";//作为一个强迫症，为了格式而已……
int num=0;//为了格式+1
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=1;j<=c[i];j++)
{
if(num==0) cout<<p[i];
else cout<<"×"<<p[i];
num++;
}
}
return 0;
}毕竟基本上是纯数学知识，还是很好理解的~
迎评：）
——End——