数学知识(一)

一、数论

1.1质数

定义:在所有大于1的自然数，如果只包含1和本身这两个约数，就被称为质数(素数).

质数的判断:试除法

bool is_prime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    for(int i = 2;i <= n / i;i ++)
    {
        if(n % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

分解质因数

基本思路:从小到大枚举n的所有约数。

void divide(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(n % i == 0)
            {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d\n",i,s)
        }
    }
}

埃氏筛法

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int primes[N],cnt;
bool st[N];

void get_prime(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = n;
            for(int j = i + i;j <= n;j += i) st[j] = true;
        }
    }
}

线性筛法

保证了每个数都是被他的最小质因子所筛掉

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int primes[N],cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2;i<= n;i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0;primes[j] <= n / i;j ++)
        {
            st[primes[j] * i = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;  //primes[j]一定是i的最小质因子
         }
    }
}

1.2约数

 试除法求约数

vector<int> get_divisors(int n)
{
    vector<int> res;
    
    for(int i = 1;i <= n / i;i ++)
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != n / i) res.push_back(n / i);
        }
    sort(res.begin(),res.end());
    return res;
}

约数个数与约数之和

欧几里得算法

//返回a与b的最大公约数
int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,(a % b) : a);
}

二、欧拉定理

2.1欧拉函数

定义:X(n)表示1~n中与n互质的个数

算法步骤:

1. 从1~N中去掉p1,p2,...,pk的倍数
2. 加上所有Pi * Pj的倍数
3. 减去所有Pi * Pj * Pk的倍数

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    while(n --)
    {
        int a;
        cin>>a;

        int res = a;
        //分解质因数
        for(int i = 2 ;i <= a;i ++)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while (a % i == 0) a /= i;
            }
        }
        if(a > 1) res = res / a * (a - 1);

        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

快速幂 

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

//求a^k % p
int main(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        //如果当前k的末位为1，则
        if( k & 1) res = (LL)res * a % p;
        //删除k的末位
        k >>= 1;
        //把a平方
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    while(n --)
    {
        int a,k,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);
        
        printf("%d\n",qmi(a,k,p));
    }
    return 0;
}