判断质数、分解质因数

什么是质数、合数

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，质数也叫素数。

与质数相对的是合数，合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除的数。

判断质数

bool is_prime(int n)
{
	if(n < 2) return false;
	for(int i=2; i<=n/i; i++)
	   if(n%i == 0)
	     return false;
	return true;     
}

循环中不建议写成i<=sqrt(n)，因为sqrt函数很慢，每次for循环都会执行一遍，耗时。
也不要写成i*i<=n，会存在溢出风险。

时间复杂度：O(sqrt(n))

分解质因数

把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。
如：12=2 * 2 * 3

void divide(int n)
{
	for(int i=2; i<=n/i; i++)
	  if(n%i == 0)
	  {
	  	int s=0;
	  	while(n%i == 0)
	  	{
	  	  n/=i;
		  s++;		
		}
		cout<<i<<" "<<s; //s是i的次方数
	  }
	if(n>1) cout<<n<<" "<<1; //此时n是大于根号n的那个质因子
}

时间复杂度：O(sqrt(n)) (最坏情况下)

为什么这里也只用循环到n/i就行了呢？
因为，n的质因子最多只有一个大于sqrt(n)的（很好证明，因为如果有两个的话相乘就大于n了，这是矛盾了），所以，我们只需要先找到小于sqrt(n)的质因子，循环结束后，n若是大于1的，说明此时这个n就是那个大于sqrt(n)的质因子。

我们可能会疑问，我们要找的是n的所有的质因子，可是你在循环内枚举时 i 是从2 ~ n/i的，这中间i可是包含的有合数的，会不会有问题呢？
其实，是没有问题的，因为当我们枚举到 i 时，就意味着我们已经把 n 的2~i-1的所有质因子都除干净了(n/=i)，也就是说我们此时的n中不含有2 ~ i -1的任何质因子了，如果满足if(n%i == 0)，那么说明 i 中也一定不含2 ~ i -1的任何质因子，那么这个 i 一定是个质数。