MIT 18.06 linear algebra 第二十八讲笔记
- Positive Definite Matrix
- Tests for Minimum (
xTAx>0
)
- Ellipsoids in
Rn
假设正定矩阵
A=[abbc]
,那么它满足:
-
λ1>0,λ2>0
.
- 主元均大于零,
a>0,ac−b2a>0
。
- 子矩阵对应的行列式大于零,
a>0,ac−b2>0
-
xTAx>0
假设有矩阵
[26618]
,它的特征值为
λ1=0,λ2=20
,对于这样特征值均大于等于零(必须要含有零特征)矩阵称之为半正定矩阵。这个矩阵也只有一个主元为非零
pivot1=2,pivot2=0
。
对于第四种判定方法,需要任意的
x
与之操作都大于零,那么他就是正定的。
[x1x2][26618][x1x2]=[x1x2][2x1+6x26x1+18x2]=2x21+12x1x2+18x22
。这样就可以把一个矩阵写为二次型(quadratic form,没有常数项,也没有三四次项,每项都是二次的。)。前面的等式可以形式化为
ax2+2bxy+cy2
,如果对于任意的
x,y
都是大于零那么这个矩阵就是正定矩阵。
当矩阵为
[26620]
,
[x1x2][26620][x1x2]=2x21+12x1x2+20x22
,这个等式在除
x=0
外,
xTAx>0
。
2x21+12x1x2+20x22=2(x+3y)2+2y2>0,x≠0
。矩阵消元的过程
[26620]⇒[2062]
。在这个消元过程中
L=[1301]
。从前面的内容可以看出,两个主元的大小和配方法外的两个系数是一样的。内部的3和消元的因子是一样的。
例子矩阵
⎡⎣⎢2−10−12−10−12⎤⎦⎥
,它的子矩阵对应的行列式为2,3,4。主元为
2,32,43
。特征值为
2−2–√,2,2+2–√
。
xTAx=2x21+2x22+2x23−2x1x2−2x2x3>0
,对于这个方程,如果我们令其等于1,那么这样切出来的结果是一个橄榄球形的三维空间。那么这个橄榄型的主轴方向和主轴大小是由什么决定的呢?
假设
A
为对称矩阵,
xTAx=xTQΛQTx
,令
y=QTx
,那么
xTAx=yTΛy=λ1y21+λ2y22+λ3y23=1
,这样就转换成全部关于
yi
的二次式了。可见椭球的各个轴长是由
λ
决定的。由于
y=xTQ
,那么
x=Qy
,即
x
是关于特征向量的线性组合,因此轴的方向由特征向量决定。假设
Q=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥
,那么
y1=1λ1−−√,y2=1λ2−−√,y3=1λ3−−√
。因此,
x=Qy
,其实
x
还是和
y
一样的垂直坐标系。所以说特征向量决定了椭球轴的方向。